Náhodná matice

Technology

12 hours ago

Author

Albert Flores

Náhodná matice je matice, jejíž prvky jsou náhodné veličiny případně pseudonáhodná čísla. Tato čísla mohou pocházet z libovolného rozdělení, v praxi se však nejčastěji vyskytují matice s normálním (Gaussovým) rozdělením. Náhodné matice nacházejí široké uplatnění v matematickém modelování procesů jako je např. chování plynů, radioaktivní rozpad, ale také v dopravních modelech (modelování tvorby kolon).

Typy náhodných matic

Dále se zaměříme pouze na matice, jejichž prvky jsou gaussovsky rozděleny a matice jsou hermitovské, resp. symetrické

Gaussovské ortogonální matice (Gaussian orthogonal ensemble) - zkr. GOE(N)

Jedná se o množinu čtvercových reálných symetrických matic řádu N, jejichž prvky jsou statisticky nezávislé gaussovsky rozdělené náhodné veličiny. Pro prvek aij tedy platí

:aij ~ N(μ,σ2) pro i ij ~ N(μ,2σ2) pro i = j Další vlastností těchto matic je, že po transformaci UTAU, kde U představuje ortogonální matici řádu N, získáme náhodnou matici patřící do množiny GOE(N).

Gaussovské unitární matice (Gaussian unitary ensemble) - zkr. GUE(N)

Množina GUE(N) představuje náhodné čtvercové hermitovské matice řádu N. Prvky těchto matic mají opět normální rozdělení. +more Pro reálnou část prvku platí stejná definice jako v případě matic z množiny GOE(N), imaginární část je náhodná veličina s rozdělením N(μ,σ2), avšak diagonální prvky mají imaginární část nulovou, aby matice byla hermitovská.

Po transformaci UHAU, kde U představuje unitární matici řádu N, získáme opět náhodnou matici patřící do množiny GUE(N).

Gaussovské symplektické matice (Gaussian symplectic ensemble) - zkr. GSE(2N)

Množina GSE(N) je tvořena čtvercovými kvaternionovými hermitovskými maticemi řádu 2N. Prvky těchto matic mají opět normální rozdělení. +more Pro reálnou část prvku platí stejná definice jako v případě matic z množiny GOE(N), imaginární části jsou náhodné veličiny s rozdělením N(μ,σ2), avšak diagonální prvky mají imaginární část nulovou, aby matice byla hermitovská.

Po transformaci U−1AU, kde U představuje symplektickou matici řádu 2N, získáme opět náhodnou matici patřící do množiny GSE(2N).

Pásové náhodné matice (Band random matrix ensemble) - zkr. BRME(N)

Jedná se o množinu reálných symetrických náhodných čtvercových matic řádu N, pro jejichž prvky platí :aij = 0 pro |i - j| ≥ b, kde b představuje tzv. poloviční šířku pásu. +more Pro ostatní prvky platí stejná definice jako pro matice z množiny GOE(N). V případě, že zvolíme b = 1 získáme diagonální náhodnou matici, pro volbu b = N dostaneme matici z množiny GOE(N).

Ukázka pásové matice (pro N = 4, b = 2):

\begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 & 0\\ 5 & 2 & 6 & 0\\ 0 & 6 & 3 & 7\\ 0 & 0 & 7 & 4\end{pmatrix}

Statistická nezávislost

Pro všechny matice typu GOE, GUE či GSE musí platit, že diagonální prvky a všechny části naddiagonálních prvků jsou statisticky nezávislé veličiny. Prvky pod diagonálou jsou s prvky nad diagonálou nutně zkorelovány, díky symetrii či hermiticitě matice. +more Stejný požadavek je také kladen na prvky matic třídy BRME, zde se samozřejmě neuvažují prvky ležící nad nenulovým pásem, neboť ty již nejsou náhodnými veličinami.