Nerovnosti mezi průměry

Nerovnosti mezi průměry v matematice vyjadřují nejčastěji vztah mezi kvadratickým, aritmetickým, geometrickým a harmonickým průměrem nějaké skupiny čísel.

Existuje nekonečně mnoho průměrů, ze známějších např. zobecněný mocninný (např. +more odmocninový, kubický), Heronův, aritmeticko-geometrický, logaritmický, harmonicko-kvadratický, kontraharmonický - které lze do nerovností zapsat. Jejich běžné užití je však (kromě Heronova průměru) spíše sporadické.

Vzorec

Označíme-li kvadratický průměr daných kladných čísel jako K, aritmetický průměr A, geometrický průměr G a harmonický průměr H, pak platí:

K \geq A \geq G \geq H

Rovnost navíc nastává právě tehdy, když jsou všechna průměrovaná čísla stejná.

Například pro čísla 1 a 9 je

K=\sqrt{{\frac {1^2+9^2} {2}}} \dot= 6,4 \geq A=5 \geq G=\sqrt{9}=3 \geq H= \frac {1} {\frac {1+1/9} {2}} = 1,8

Nejdůležitější z těchto nerovností je nerovnost aritmetického a geometrického průměru, nazývaná též AG nerovnost.

Související články

Nerovnost aritmetického a geometrického průměru * Kvadratický průměr * Aritmetický průměr * Geometrický průměr * Harmonický průměr

Externí odkazy

[url=http://mks.mff.cuni.cz/library/library.php?categ=9&supcats=]Nerovnosti[/url] na stránkách matematického korespondenčního semináře MFF UK

Kategorie:Nerovnosti Kategorie:Statistika