Cesko.wiki Pravděpodobnostní vytvořující funkce
Author
Albert FloresPravděpodobnostní vytvořující funkce diskrétní náhodné proměnné je v teorii pravděpodobnosti mocninná řada reprezentace (vytvořující funkce) pravděpodobnostní funkce náhodné proměnné. Pravděpodobnostní vytvořující funkce se často používají pro svůj stručný popis posloupnosti pravděpodobností Pr(X = i) v pravděpodobnostní funkci pro náhodnou veličinu X a díky tomu, že zpřístupňují dobře rozvinutou teorii mocninných řad s nezápornými koeficienty.
Definice
Jednorozměrný případ
Pokud X je diskrétní náhodná proměnná nabývající nezáporných celočíselných hodnot {0,1, ...}, pak pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné proměnné X je definována jako
:G(z) = \operatorname{E} (z^X) = \sum_{x=0}^{\infty}p(x)z^x, kde p je pravděpodobnostní funkce náhodné proměnné X. Jméno náhodné proměnné se často doplňuje jako dolní index: GX a pX, aby se zdůraznilo, že se funkce týkají určité náhodné proměnné X a jejího rozdělení pravděpodobnosti. +more Mocninná řada konverguje absolutně alespoň pro všechna komplexní čísla z s |z| ≤ 1; v mnoha případech je poloměr konvergence větší.
Vícerozměrný případ
Pokud X je diskrétní náhodná proměnná nabývající hodnoty v d-rozměrné nezáporné celočíselné mřížce {0,1, . }d, pak pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné proměnné X je definována jako :G(z) = G(z_1,\ldots,z_d)=\operatorname{E}\bigl (z_1^{X_1}\cdots z_d^{X_d}\bigr) = \sum_{x_1,\ldots,x_d=0}^{\infty}p(x_1,\ldots,x_d)z_1^{x_1}\cdots z_d^{x_d}, kde p je pravděpodobnostní funkce náhodné proměnné X. +more Mocninná řada konverguje absolutně alespoň pro všechny komplexní vektory z s .
Vlastnosti
Mocninná řada
Pro pravděpodobnostní vytvořující funkci platí všechna pravidla pro mocninné řady s nezápornými koeficienty. Konkrétně G(1−) = 1, kde G(1−) = limz→1G(z) zdola, protože součet pravděpodobností musí být roven jedné. +more Podle Abelovy věty pro mocninné řady s nezápornými koeficienty musí být poloměr konvergence jakékoli pravděpodobnostní vytvořující funkce alespoň 1.
Pravděpodobnosti a střední hodnota
Následující vlastnosti umožňují odvození různých základních veličin vycházejících z X: # Pravděpodobnostní funkci náhodné proměnné X lze získat z derivací funkce G, p(k) = \operatorname{Pr}(X = k) = \frac{G^{(k)}(0)}{k. }. +more # Z vlastnosti 1 plyne, že pokud náhodné proměnné X a Y mají stejné pravděpodobnostní vytvořující funkce (GX = GY), pak pX = pY. Čili pokud X a Y mají stejné pravděpodobnostní vytvořující funkce, pak mají stejné rozdělení. # Normalizaci hustoty pravděpodobnosti lze vyjádřit pomocí vytvořující funkce \operatorname{E}(1)=G(1^-)=\sum_{i=0}^\infty p(i)=1. střední (očekávaná) hodnota náhodné proměnné X je \operatorname{E}(X) = G'(1^-). Obecněji k-tý faktoriálový moment, \operatorname{E}(X(X - 1) \cdots (X - k + 1)) náhodné proměnné X je \operatorname{E}\left(\frac{X. }{(X-k). }\right) = G^{(k)}(1^-), \quad k \geq 0. Takže rozptyl náhodné proměnné X je \operatorname{Var}(X)=G(1^-) + G'(1^-) - \left [G'(1^-)\right ]^2. Navíc k-tý obecný moment náhodné proměnné X je \operatorname{E}(X^k) = \left(z\frac{\partial}{\partial z}\right)^k G(z) \Big|_{z=1^-} # Platí G_X(e^t) = M_X(t), kde X je náhodná proměnná, G_X(t) je pravděpodobnostní vytvořující funkce (náhodné proměnné X) a M_X(t) je momentová vytvořující funkce (náhodné proměnné X) .
Funkce nezávislých náhodných proměnných
Pravděpodobnostní vytvořující funkce jsou užitečné pro práci s funkcemi nezávislých náhodných proměnných. Například:
* Pokud X1, X2, ..., XN je posloupnost nezávislých náhodných proměnných (které mohou mít i různá rozdělení pravděpodobnosti) a
::S_N = \sum_{i=1}^N a_i X_i,
:kde ai jsou konstanty, pak pravděpodobnostní vytvořující funkce je
::G_{S_N}(z) = \operatorname{E}(z^{S_N}) = \operatorname{E} \left( z^{\sum_{i=1}^N a_i X_i,} \right) = G_{X_1}( z^{a_1})G_{X_2}(z^{a_2})\cdots G_{X_N}(z^{a_N}).
:Jestliže například
::S_N = \sum_{i=1}^N X_i,
:pak pravděpodobnostní vytvořující funkce GSN(z), je
::G_{S_N}(z) = G_{X_1}(z)G_{X_2}(z)\cdots G_{X_N}(z).
:Z uvedeného také plyne, že pravděpodobnostní vytvořující funkce rozdílu dvou nezávislých náhodných proměnných S = X1 − X2 je
::G_S(z) = G_{X_1}(z) G_{X_2}(1/z).
* Předpokládejme, že N je také nezávislá diskrétní náhodná proměnná nabývající nezáporných celočíselných hodnot s pravděpodobnostní vytvořující funkcí GN. Pokud X1, X2, . +more, XN jsou nezávislé náhodné veličiny se stejným rozdělením pravděpodobnosti a s obvyklou pravděpodobnostní vytvořující funkcí GX, pak.
::G_{S_N}(z) = G_N(G_X(z)).
:To plyne z věty o celkové střední hodnotě:
:: \begin{align} G_{S_N}(z) & = \operatorname{E}(z^{S_N}) = \operatorname{E}(z^{\sum_{i=1}^N X_i}) \\[4pt] & = \operatorname{E}\big(\operatorname{E}(z^{\sum_{i=1}^N X_i} \mid N) \big) = \operatorname{E}\big( (G_X(z))^N\big) =G_N(G_X(z)). \end{align}
:Tento poslední fakt je užitečný při studiu Galtonových-Watsonových procesů a složených Poissonových procesů.
* Opět předpokládejme, že N je nezávislá diskrétní náhodná proměnná nabývající nezáporné celočíselné hodnoty s pravděpodobnostní vytvořující funkcí GN a hustotou pravděpodobnosti f_i = \Pr\{N = i\}. Pokud X1, X2, . +more, XN jsou nezávislé náhodné proměnné, které nemají stejné rozdělení, a G_{X_i} jsou pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné proměnné X_i, pak.
::G_{S_N}(z) = \sum_{i \ge 1} f_i \prod_{k=1}^i G_{X_i}(z).
:Pro Xi se stejným rozdělením se vzorec zjednodušuje na identitu uvedenou výše. Obecný případ bývá užitečný pro získání rozkladu SN pomocí vytvořující funkce.
Příklady
Pravděpodobnostní vytvořující funkce konstantní náhodné proměnné, tj. rozdělení s Pr(X = c) = 1, je
::G(z) = z^c.
* Pravděpodobnostní vytvořující funkce binomické náhodné proměnné, počet úspěchů v n pokusech s pravděpodobností úspěchu p v každém pokusu je
::G(z) = \left[(1-p) + pz\right]^n.
:Jde o n-násobný součin pravděpodobnostní vytvořující funkce pro alternativní (Bernoulliho) rozdělení s parametrem p. :Takže pravděpodobnostní vytvořující funkce spravedlivé mince je
::G(z) = 1/2 + z/2.
* Pravděpodobnostní vytvořující funkce negativní binomické náhodné proměnné na {0,1,2 ...}, počet neúspěchů dokud r-tého úspěchu s pravděpodobností úspěchu v každém pokusu p je
::G(z) = \left(\frac{p}{1 - (1-p)z}\right)^r.
:(konverguje pro |z| ).
:Jde o r-násobný součin pravděpodobnostní vytvořující funkce geometrické náhodné proměnné s parametrem 1 − p na {0,1,2,...}.
* Pravděpodobnostní vytvořující funkce Poissonovy náhodné proměnné s parametrem λ je
::G(z) = e^{\lambda(z - 1)}.
Příbuzné koncepty
Pravděpodobnostní vytvořující funkce je příkladem vytvořující funkce posloupnosti (viz formální mocninná řada). Je ekvivalentní Z-transformaci pravděpodobnostní funkce a někdy se tak i nazývá.
K dalším vytvořujícím funkcím náhodných proměnných patří momentová vytvořující funkce, charakteristická funkce a kumulantová vytvořující funkce. Pravděpodobnostní vytvořující funkce je také ekvivalentní s faktoriálovou momentovou vytvořující funkcí, která jako \operatorname{E}\left[z^X\right] může být také uvažována pro spojité a jiné náhodné proměnné.