Cesko.wiki Rozdělení gama
Author
Albert FloresGrafy hustot gama rozdělení s různými charakteristikami. Grafy distribučních funkcí rozdělení gama s různými charakteristikami. Rozdělení gama je v teorii pravděpodobnosti a statistiky dvouparametrická rodina spojitých rozdělení pravděpodobnosti. Speciálními případy distribuce gama jsou exponenciální rozdělení, Erlangovo rozdělení a rozdělení chí-kvadrát. Běžně se používají tři různé parametrizace distribuce gama:
# S parametrem tvaru k a parametrem měřítka θ. # S parametrem tvaru 1=α = k a inverzním parametrem měřítka 1=β = 1/θ. # S tvarovým parametrem k a střední hodnotou 1=μ = kθ = α/β.
V každé z těchto tří forem jsou oba parametry kladná reálná čísla.
Distribuci gama lze parametrizovat například pomocí tvarového parametru α = k a inverzního parametru škály β = 1 / θ. Mějme náhodnou proměnnou X, která má rozdělení gama s parametry α a β:
: X \sim \Gamma(\alpha, \beta) \equiv \operatorname{Gama}(\alpha,\beta).
Odpovídající funkce hustoty pravděpodobnosti v této parametrizaci je
: \begin{align} f(x;\alpha,\beta) & = \frac{ \beta^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)} \quad \text{ pro } x > 0 \quad \alpha, \beta > 0, \\[6pt] \end{align}
kde \Gamma(\alpha) je funkce gama . Pro všechna kladná celá čísla \Gamma(\alpha)=(\alpha-1)! .
Kumulativní distribuční funkce je regularizovaná funkce gama:
: F(x;\alpha,\beta) = \int_0^x f(u;\alpha,\beta)\,du= \frac{\gamma(\alpha, \beta x)}{\Gamma(\alpha)},
kde \gamma(\alpha, \beta x) je nižší neúplná funkce gama.
Pokud α je kladné celé číslo (tj. distribuce je Erlangovo rozdělení), má tato distribuční funkce následující rozvoj do řady:
: F(x;\alpha,\beta) = 1-\sum_{i=0}^{\alpha-1} \frac{(\beta x)^i}{i!} e^{-\beta x} = e^{-\beta x} \sum_{i=\alpha}^{\infty} \frac{(\beta x)^i}{i!}.
: f(x;k,\theta) = \frac{x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}}}{\theta^k\Gamma(k)} \quad \text{ pro } x > 0 \text{ a } k, \theta > 0.
