Spočetná množina

Spočetná množina je matematický pojem z teorie množin, označující množinu, kterou lze vzájemně jednoznačně (tzv. bijektivně) zobrazit na některou podmnožinu množiny přirozených čísel.

Úvodní přiblížení

Zjednodušeně lze říci, že přívlastek spočetná o množině konstatuje, že „její prvky lze spočítat“. Spočítáním se zde rozumí očíslování prvků přirozenými čísly.

Podle toho, zda k očíslování postačuje, či nepostačuje konečný počet přirozených čísel, se spočetné množiny klasifikují jako konečné a nekonečné. V případě konečných spočetných množin se používá formulace, že v očíslování existuje nejvyšší přirozené číslo.

Příklad - množina celých čísel je spočetná

I když by se mohlo zdát, že celých čísel je více než přirozených (dalo by se říci „dvakrát více“), pojem spočetnosti toto zdání nereflektuje. Celá čísla přirozenými čísly očíslovat lze, např. +more následujícím způsobem: * Celá čísla se seřadí - primárně vzestupně podle absolutní hodnoty, sekundárně vzestupně podle velikosti. * Dle předchozího bodu seřazená množina se očísluje přirozenými čísly tak, jak po sobě tyto ve vzestupném pořadí následují: ** 0 bude mít číslo 0; ** -1 bude mít číslo 1; ** 1 bude mít číslo 2; ** -2 bude mít číslo 3; ** 2 bude mít číslo 4; ** -3 bude mít číslo 5; ** 3 bude mít číslo 6; ** ….

Výše naznačené očíslování se považuje za důkaz spočetnosti množiny celých čísel. Říká se, že předvedeným způsobem se podaří očíslovat všechna celá čísla.

Další důkaz spočetnosti nekonečné množiny se nachází v článku Nespočetná množina.

Spočetné a nespočetné nekonečné množiny

Nabízí se otázka, zda vůbec existují jiné než spočetné množiny. V běžně používaných modelech teorie množin, kupř. +more Zermelově-Fraenkelově teorii množin, je odpověď kladná - existují. Takové množiny se nazývají nespočetné množiny a jejich příklady jsou množina reálných čísel nebo množina všech podmnožin množiny přirozených čísel.

Důkaz nespočetnosti množiny reálných čísel naleznete v článku Cantorova diagonální metoda.

Z Cantorovy věty dokonce vyplývá, že ke každé (tedy i nespočetné) množině existuje množina s větší mohutností - tedy ještě mnohem „nespočetnější“ množina než množina, k níž je tato množina dohledávána. V tomto smyslu - ve smyslu nekonečnosti - lze spočetné množiny považovat za pouhou vstupní bránu do světa mnohem větších nespočetných množin.

Lze dokázat

že kartézský součin dvou spočetných množin je spočetná množina; * že konečné sjednocení spočetných množin je spočetná množina; * že reálná čísla \mathbb R nejsou spočetná (vizte Cantorovu diagonální metodu).

Příklady spočetných množin

Algebraická čísla * Celá čísla (\mathbb Z) * Přirozená čísla (\mathbb N) * Racionální čísla (\mathbb Q)

Odkazy

Související články

Bijekce * Cantorova diagonální metoda * Cantorova věta * Kardinální číslo * Konečná množina * Množina * Mohutnost * Nekonečná množina * Nespočetná množina * Podmnožina * Rekurzivně spočetný jazyk * Teorie množin * Zobrazení (matematika)

Externí odkazy

Kategorie:Nekonečno Kategorie:Teorie množin