Transpozice matice

V lineární algebře se matice, která vznikne z matice \boldsymbol{A} vzájemnou výměnou řádků a sloupců, nazývá matice transponovaná k matici \boldsymbol{A} a obvykle se značí \boldsymbol{A}^\mathrm{T}. Odpovídající operace je tzv. transpozice matice.

Transpozici matice zavedl v roce 1858 britský matematik Arthur Cayley. Reprezentuje-li matice \boldsymbol{A} binární relaci, pak její transpozice \boldsymbol{A}^\mathrm{T} odpovídá inverzní relaci.

Definice

Matici transponovanou k matici \boldsymbol{A} lze získat libovolnou z následujících metod: # Převrácením \boldsymbol{A} podél její hlavní diagonály nebo # zápisem řádků \boldsymbol{A} do sloupců \boldsymbol{A}^\mathrm{T}nebo # zápisem sloupců \boldsymbol{A} do řádků \boldsymbol{A}^\mathrm{T}.

Formálně, pro jednotlivé prvky transponované matice platí: :(\boldsymbol{A}^\mathrm{T})_{ij} = a_{ji}

Pokud má matice \boldsymbol{A} rozměry (m,n), pak její transpozicí vznikne matice o rozměrech (n,m).

Symbol \mathrm{T} je rezervován pro označení transpozice a neměl by být zaměňován s jiným významem horního indexu, jako např. název proměnné i ve výrazu \boldsymbol{A}^i, znamenajícím i-tou mocninu čtvercové matice \boldsymbol{A}.

Ukázky

Transpozicí matice \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 & 7\end{pmatrix} vznikne \boldsymbol{A}^\mathrm{T} = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 5 \\ 2 & 6 \\ 3 & 7\end{pmatrix}. * \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}^\mathrm{T} = \begin{pmatrix} a & c\\ b & d\end{pmatrix}

Definice matic využívající transpozici

Čtvercová matice, jenž je rovna své transpozici, se nazývá symetrická matice; čili \boldsymbol{A} je symetrická, pokud

: \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} = \boldsymbol{A}.

Čtvercová matice, jenž je rovna záporu své transpozice, se nazývá antisymetrická matice; čili \boldsymbol{A} je antisymetrická, pokud

: \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} = -\boldsymbol{A}.

Čtvercová komplexní matice, jejíž transpozice je rovna matici, kde každý prvek je nahrazen k němu komplexně sdruženým číslem, se nazývá hermitovská matice; čili \boldsymbol{A} je hermitovská, pokud

: \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} = \overline{\boldsymbol{A}}.

Čtvercová matice, jejíž transpozice se shoduje s její inverzní matici, se nazývá ortogonální matice; čili \boldsymbol{A} je ortogonální, pokud

: \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} = \boldsymbol{A}^{-1}.

Vlastnosti

Dvojitá transpozice matice je opět původní matice: : \left( \boldsymbol{A}^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = \boldsymbol{A}, : neboli operace transpozice je involuce. * Skalární násobek lze vytknout před operaci transpozice: : (c \boldsymbol{A})^\mathrm{T} = c \boldsymbol{A}^\mathrm{T} : neboli transpozice zachovává skalární násobek matic. +more * Transpozice součtu matic je součtem transponovaných matic: : (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) ^\mathrm{T} = \boldsymbol{A}^\mathrm{T} + \boldsymbol{B}^\mathrm{T} : neboli transpozice zachovává součet matic. * Transpozice součinu dvou matic je součinem transponovaných matic v obráceném pořadí: : \left( \boldsymbol{A B} \right) ^\mathrm{T} = \boldsymbol{B}^\mathrm{T} \boldsymbol{A}^\mathrm{T} \, : Indukcí lze tento vztah rozšířit na součin více matic: (\boldsymbol{A}_1\boldsymbol{A}_2\cdots\boldsymbol{A}_k)^\mathrm{T} =\boldsymbol{A}_k^\mathrm{T}\cdots\boldsymbol{A}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{A}_1^\mathrm{T} * Z předchozího vztahu vyplývá, že čtvercová matice \boldsymbol{A} je regulární, právě když je regulární \boldsymbol{A}^\mathrm{T}. V tomto případě platí, že transpozice inverzní matice je rovna inverzi transponované matice: : \left( \boldsymbol{A} ^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{-1} = \left( \boldsymbol{A} ^\mathrm{-1} \right) ^\mathrm{T} \,.

* Skalární součin dvou reálných sloupcových vektorů \boldsymbol{u} a \boldsymbol{v} lze spočítat jako jediný prvek maticového součinu: : \langle\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v}\rangle=\boldsymbol{u}^\mathrm{T}\boldsymbol{v}

* Determinant čtvercové matice se transpozicí nezmění: : \det \left( \boldsymbol{A} ^\mathrm{T} \right) = \det \boldsymbol{A}\,

* Vlastní čísla čtvercové matice \boldsymbol{A} se shodují s vlastními čísly její transpozice \boldsymbol{A}^\mathrm{T}, protože obě matice mají totožný charakteristický polynom. * Pro libovolnou matici platí, že obě matice \boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{A} i \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^\mathrm{T} jsou symetrické. +more Symetrie matice \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^\mathrm{T}prostě plyne ze skutečnosti, že je sama sobě transpozicí: : \left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^\mathrm{T}\right)^\mathrm{T} = \left(\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\right)^\mathrm{T} \boldsymbol{A}^\mathrm{T}= \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^\mathrm{T}.

* Je-li navíc \boldsymbol{A} reálná matice, pak obě matice \boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{A} i \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^\mathrm{T} jsou pozitivně semidefinitní.

Implementace maticové transpozice na počítačích

Ilustrace řádkového a sloupcového pořadí prvků matice Na počítači se lze často vyhnout výpočtu a ukládání transpozice matice v paměti pouhým přístupem ke stejným datům, ale jen v jiném pořadí. +more Například softwarové knihovny pro lineární algebru, jako je BLAS, obvykle poskytují možnosti, jak určit, že určité matice mají být interpretovány v transponovaném pořadí, aby se předešlo nutnosti přesunu dat.

V řadě případů je však nutné nebo žádoucí fyzicky přeuspořádat matici v paměti na její transpozici. Například s maticí uloženou v pořadí po řádcích jsou řádky matice v paměti souvislé a sloupce nesouvislé. +more Pokud je třeba provádět opakované operace se sloupci, například v rychlé Fourierově transformaci, může transpozice matice v paměti (aby sloupce byly souvislé) zrychlit výpočet díky principu lokality paměti.

Ve výpočtech je vhodné provádět transpozici matici s minimálními dodatečnými paměťovými nároky. To vede k problému transpozice matice typu m \times n na místě, neboli s dodatečnou pamětí konstantní velikosti, případně o velikosti mnohem menší než udává součin mn odpovídající alokaci paměti pro celou transponovanou matici. +more V případě, že m\ne n, jde o složitou permutaci uložených dat, jejíž implementace na místě není triviální. Efektivní transpozice matice na místě se stala předmětem četných výzkumných publikací v teoretické informatice už koncem 50. let 20. století.

Odkazy

Reference

Literatura

Související články

Inverzní matice * Násobení matic * Matice

Externí odkazy

[ftp://math.feld.cvut.cz/pub/krajnik/vyuka/ua/matice.pdf Eduard Krajník - Maticový počet]

Kategorie:Teorie matic