Cesko.wiki Úplná teorie
Technology
12 hours ago
8
4
2
Author
Albert FloresÚplná teorie je matematická teorie, kterou navrhl matematik Kurt Gödel. Jedná se o rozšíření teorie množin s nekonečnou množinou axiomů, které mají za cíl popsat matematické struktury s vysokou úplností a schopností vyjádřit všechny matematické pravdy. Gödelova úplná teorie je založena na myšlence, že matematická pravda je formálně definována jako věta daného logického systému, která je odvozena z jeho axiomů pomocí řetězce správných logických inferencí. Úplná teorie se snaží dokázat existenci takové věty pro každou formulaci matematické pravdy. V úplné teorii existuje také pojem dokazatelnosti a nezachvatitelnosti, což jsou vlastnosti vět, které jsou buď dokazatelné z axiomů, nebo pro ně neexistuje žádný důkaz, který by byl formulovateln v daném logickém systému. Gödelova úplná teorie má velký význam pro základy matematiky a logiky. Díky ní byly objeveny omezení formálního systému matematiky, jako například Gödelovy věty o neúplnosti, které ukazují, že každý dostatečně silný formální systém je buď neúplný, nebo se protiřečí. Úplná teorie má také důležité aplikace v informatice a umělé inteligenci. Pomáhá například v teorii formálních jazyků, ve vývoji programovacích jazyků či při analýze algoritmů. Celkově lze říci, že úplná teorie představuje důležitý základ matematiky a logiky, který je využíván v mnoha oblastech. Je to jeden ze zásadních přínosů Kurta Gödela k rozvoji matematického myšlení.
V matematické logice se pojmem úplná teorie označuje teorie, která je bezesporná a jejíž každé rozšíření je sporné. V klasické logice to je ekvivalentní tvrzení, že pro každou sentenci S obsahuje S nebo \neg S.
Podle lemmatu Lindenbauma lze každou bezespornou teorii rozšířit na bezespornou úplnou teorii, tj.
(\forall T \subseteq S) \operatorname{Cn}(T) \neq S \rightarrow (\exists U \subseteq S) T \subseteq U \land \operatorname{Cn}(U) \neq S \land (\forall V \subseteq S) U \subsetneq V \rightarrow \operatorname{Cn}(V)=S
kde Cn je operátor konsekvence.