Číselná posloupnost

Číselná posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel do libovolné číselné množiny (například do množiny komplexních nebo reálných čísel).

Nekonečná číselná posloupnost je každá funkce, jejímž definičním oborem je množina N všech přirozených čísel.

Konečná posloupnost je každá funkce, jejíž definiční obor je konečná podmnožina všech přirozených čísel. Pokud je posloupnost konečná, často ji nazýváme uspořádanou n-ticí. +more Uspořádanou n-tici čísel můžeme chápat jako souřadnice bodu v n-rozměrném prostoru a často ji nazýváme aritmetický vektor.

V matematice se pracuje také s nečíselnými posloupnostmi - například posloupnostmi funkcí.

Zadání posloupnosti

Vzorcem pro n-tý člen

:\left [ {h_n} \right ]_{n=1}^\infty např. h_n = -3 + (-1)^n nekonečná posloupnost :\left [ {h_n} \right ]_{n=1}^5 např. h_n = \left [ {0,5}^n \right ]_{n=1}^5 konečná posloupnost

Rekurentně

a) je dán první člen a vzorec k výpočtu členu a_{n+1} pro každé n z množiny N a_1 = 4, a_{n+1} = -2 a_n pro všechna n z množiny N

b) jsou dány první dva členy a vzorec k výpočtu b_{n+2} na základě znalosti b_n a b_{n+1} b_1 = 1, b_2 = -1, b_{n+2} = 2b_{n+1} - 3 b_n pro všechna n z množiny N

Výčtem svých členů

:h_n = n_1, n_2, n_3, \ldots, n_n pro konečnou posloupnost

Vlastnosti posloupností

U číselných posloupností (obecněji u posloupností, jejichž oborem hodnot je uspořádaná množina) lze definovat následující vlastnosti:

* Posloupnost \left [ {a_n} \right ]_{n=1}^\infty je rostoucí, právě když pro všechna n z množiny N je a_n * Posloupnost \left [ {a_n} \right ]_{n=1}^\infty je nerostoucí, právě když pro všechna n z množiny N je a_n \geq a_{n+1} * Posloupnost \left [ {a_n} \right ]_{n=1}^\infty je klesající, právě když pro všechna n z množiny N je a_n>a_{n+1} * Posloupnost \left [ {a_n} \right ]_{n=1}^\infty je neklesající, právě když pro všechna n z množiny N je a_n \leq a_{n+1}

Každá rostoucí posloupnost je neklesající, každá klesající posloupnost je nerostoucí. Je-li posloupnost nerostoucí nebo neklesající, říkáme, že je monotónní, posloupnost, která je rostoucí nebo klesající, je ryze monotónní.

* Posloupnost \left [ {a_n} \right ]_{n=1}^\infty je shora omezená, právě když existuje reálné číslo h takové,že pro všechna n z množiny N je a_n \leq h. * Posloupnost \left [ {a_n} \right ]_{n=1}^\infty je zdola omezená, právě když existuje reálné číslo d takové,že pro všechna n z množiny N je a_n \geq d. +more * Posloupnost se nazývá omezená, právě když je shora omezená a zároveň zdola omezená. Konečná posloupnost délky n je *čistě bitonická, pokud existuje takové i, že posloupnost (a_1, a_i) je rostoucí a (a_i, a_n) je klesající *bitonická, pokud ji lze získat cyklickým posunutím (rotací) z nějaké čistě bitonické posloupnosti.

Jestliže se v libovolně malém \varepsilon-okolí bodu d, tzn. v intervalu (d-\varepsilon,d+\varepsilon), nachází nekonečně mnoho členů posloupnosti (a_n), pak bod d nazýváme hromadným bodem posloupnosti (a_n).

Limita

Říkáme, že posloupnost * konverguje (je to konvergentní posloupnost), má-li konečnou limitu (např. 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots konverguje k 0), * diverguje (je to divergentní posloupnost), má-li nekonečnou limitu (např. +more 1, 2, 3, \ldots diverguje k \infty), nebo nemá limitu, ale osciluje (např. 1, -1, 1, -1, \ldots).

Ze spojitosti uspořádání reálných čísel (věta o supremu a infimu) plyne, že monotónní reálná posloupnost musí mít limitu.

Vybraná posloupnost

Je-li (a_n)_{n=1}^\infty posloupnost (obecně reálných) čísel a (k_n)_{n=1}^\infty rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak výraz (a_{k_n})_{n=1}^\infty nazýváme posloupnost vybraná (též podposloupnost) z a_n (jinými slovy, z a_n vybereme některé členy, např. všechny liché).

Platí důležitá Bolzano-Weierstrassova věta: Z každé omezené posloupnosti reálných čísel lze vybrat konvergentní posloupnost. Tato věta je založena na axiomu výběru a proto v některých logických systémech (např. +more intuicionistická logika) neplatí.

Odkazy

Reference

Související články

Posloupnost * Řada (matematika) * Aritmetická posloupnost * Geometrická posloupnost * Cauchyovská posloupnost * Fareyova posloupnost * Fibonacciho posloupnost * Nekonečný součin

Kategorie:Nekonečno