Cesko.wiki Číselná struktura
Author
Albert FloresČíselná struktura je v matematice algebraická struktura jejímž nosičem je číselná množina. Na této množině pak jsou určitým způsobem definovány příslušné matematické relace a operace. Tvoří se od nejjednodušších k složitějším, jednodušší struktury jsou vnořeny do těch složitějších. :\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \rightarrow \ldots
Konstrukce
Při konstrukci struktur je postup obvykle následující: nejprve je sestrojen nosič struktury (číselná množina), poté příslušné relace a nakonec je určen způsob jakým se do nové struktury zobrazí struktury jednodušší.
Přirozená čísla
Přirozená čísla jsou nejjednodušší číselnou strukturou a základem konstrukce těch složitějších. Nosičem je množina přirozených čísel označující počty objektů. +more Výsledná struktura je uzavřená na operaci sčítání a násobení, není uzavřená na operaci odčítání a dělení. Prvky struktury lze jednoznačně porovnávat - o libovolných dvou prvcích lze říct, který je menší (<). Lze také jednoznačně říct, který prvek je následovníkem (x') druhého.
Přirozená čísla se obvykle definují prostřednictvím Peanových axiomů, lze je však určit (snad lépe) i následovně: * (\forall x) x = x * (\forall x,y) x = y \Leftrightarrow y = x * (\forall x,y,z) x = y \land y = z \Rightarrow x = z * (\forall x \exists . y) y = x' * (\forall x,y \exists . +more z) z = x + y * (\forall x,y \exists . z) z = x \cdot y * (\forall x,y)x = y \Leftrightarrow x' = y' * (\forall p,q,x,y) x = y \land p = q \Leftrightarrow x + p = y + q * (\forall p,q,x,y) x = y \land p = q \Leftrightarrow x \cdot p = y \cdot q * (\exists x \forall y)y' \not= x * (\forall x,y)x' = y' \Rightarrow x = y * (\forall x)x + 0 = x * (\forall x)x \cdot 0 = 0 * (\forall x,y)x + y' = (x + y)' * (\forall x,y)x \cdot y' = (x \cdot y) + x * Nechť \phi(x) je formule s právě jednou volnou proměnnou x. Pak \phi(0) \land (\forall x)(\phi(x) \Rightarrow \phi(x')) \Rightarrow (\forall x)\phi(x) je axiom.
Celá čísla
Celá čísla jsou číselná struktura, ve které je (proti číslům přirozeným) neomezeně proveditelné také odčítání. Konstrukce vychází z toho, že každé celé číslo lze vyjádřit jako rozdíl přirozených čísel. +more * Nosičem struktury je množina všech uspořádaných dvojic přirozených čísel: \mathbb{N}\times\mathbb{N} * Ekvivalence: [x,y]\approx[u,v]\Leftrightarrow x + v = y + u * Rozklad na třídy ekvivalence T: \mathbb{Z}=\mathbb{N}\times\mathbb{N}/\approx * Sčítání: T[x,y] + T[u,v] = T[x+u,y+v] * Násobení: T[x,y] \cdot T[u,v] = T[xu+yv,xv+yu] * Obrazem přirozených čísel v nové struktuře jsou čísla ve tvaru: T[x,0], kde x je přirozené číslo * T[x,y] = x - y.
Racionální čísla
Racionální čísla jsou číselná struktura, ve které je (proti číslům celým) neomezeně proveditelné také dělení. Konstrukce vychází z toho, že každé racionální číslo lze vyjádřit jako podíl celých čísel. +more * Nosičem struktury je množina všech uspořádaných dvojic celých čísel: \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_0 * Ekvivalence: \frac{x}{y}\approx\frac{u}{v}\Leftrightarrow xv = yu * Rozklad na třídy ekvivalence T: \mathbb{Q}=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_0/\approx * Sčítání: T\frac{x}{y} + T\frac{u}{v} = T\frac{xv+yu}{yv} * Násobení: T\frac{x}{y} \cdot T\frac{u}{v} = T\frac{xu}{yv} * Obrazem celých čísel v nové struktuře jsou čísla ve tvaru: T\frac{x}{1}, kde x je celé číslo.
Reálná čísla
Reálná čísla se obvykle konstruují z racionálních čísel pomocí Dedekindových řezů.
Komplexní čísla
Komplexní čísla jsou množinou, ve které je řešitelná rovnice x^2+1=0 a to tak, že x = \sqrt{-1} = i. * Nosičem struktury je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel: \mathbb{R}\times\mathbb{R} * Ekvivalence: [x,y] = [u,v] \Leftrightarrow x = u \land y = v * Sčítání: [x,y] + [u,v] = [x+u,y+v] * Násobení: [x,y] \cdot [u,v] = [xu-yv,xv+yu]