Cesko.wiki Řetízkové pravidlo
Author
Albert FloresŘetízkové pravidlo je jednou z významných metod v teorii pravděpodobnosti a statistice. Jedná se o pravidlo, které umožňuje vypočítat pravděpodobnost jevu A a B, přičemž jevy A a B nejsou nezávislé. Pravidlo vychází z kombinace pravděpodobnostních vztahů a jednoduchého násobení. Využívá se zejména při výpočtu pravděpodobností složitějších jevů, které se skládají z více jednodušších jevů. Řetízkové pravidlo nachází uplatnění v různých oblastech, například v ekonomii, biologii nebo informatice.
Řetízkové pravidlo, řetězové pravidlo neboli pravidlo o derivaci složené funkce je v matematické analýze vzorec pro derivací složené funkce. Vzorec často podstatně zjednodušuje výpočet derivace. Princip je ukryt v tom, že vlastní funkci nahradím jiným (zpravidla výhodnějším) výrazem, který lze snáze derivovat. Je ale známo, že řetízkové pravidlo pro derivování složené funkce může selhat, pokud vnitřní a vnější funkce nejsou spojitě diferencovatelné.
Věta
Nechť funkce g(x) má vlastní derivaci v bodě x0; nechť funkce f(y) má vlastní derivaci v bodě y0 = g(x0). Potom má funkce f(g(x)) v bodě x0 derivaci f'(g(x))g'(x).
Teorie
F(x) = f(g(x)). potom: * \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g} \cdot\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} . +more Tedy vlastně: * \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x} (x)= \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g}(g(x))\cdot \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}(x) - v případě jedné závislé.
Příklad 1
Zderivujte f(x,y) využitím řetízkového pravidla. 'x' si zavedeme jako závislou proměnou 't', tedy 'x(t)', totéž uděláme u 'y', tedy 'y(t,φ)'. +more Pokračujeme zápisem samotné funkce: * F(t,q)=f(x(t),y(t,q)). A derivace z toho tedy musí být:.
* \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t}(t,q) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x(t),y(t,q))\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) + \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}y}(x(t),y(t,q))\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}(t,q)
Příklad 2
Zderivujte: * F(x) =\frac {\mathrm(x+4)^3 }{\mathrm(x-1)^3}. Celé zadání příkladu si lze představit jako: * F(x) = u^3, tedy u =\frac {\mathrm (x+4)} {\mathrm(x-1)}. +more Podle řetízkového pravidla potom výsledek bude: * F'(x) = 3\cdot u' \cdot u^2, což je:.
* \mathrm{F'}(x) = 3 \cdot \frac {\mathrm -5}{\mathrm(x-1)^2}\cdot\frac{\mathrm (x+4)^2} {\mathrm (x-1)^2}, což lze převést do základního tvaru: * \mathrm{F'}(x) =\frac {\mathrm(-15x^2-120x-240)} {\mathrm(x-1)^4}. Z druhého příkladu je krásně vidět, že standardní postup by byl velmi výpočtově náročný. +more Proto je užití řetízkového pravidla v takových případech velmi výhodné. Řetízkové pravidlo se samozřejmě nezastaví jen u jedné proměnné, lze ho například použít k transformaci parciálních derivací do cylindrických či polárních souřadnic aj.
Odkazy
Reference
Přednášky z předmětu Matematika a fyzika pro techniky (MFT): Mgr. Jan Březina, Ph.D., TUL.
Související články
Derivace * Matematická analýza * Limita * Integrál * Parciální derivace * Diferenciál * Diferenciální rovnice * Diference * Průběh funkce