600nadstěn

{{Infobox - nadstěn | název = 600nadstěn | obrázek = cell600-4dpolytope.gif | popisek = | typ = Pravidelný polychoron | počet nadstěn = 600 (3.3.3) | počet stěn = 1200 {3} | počet hran = 720 | počet vrcholů = 120 | uspořádání vrcholů = 20 (3.3.3) (dvacetistěn) | schläfliho symbol = {3,3,5} | grupa symetrie = grupa [3,3,5] | duál = 120nadstěn | vlastnosti = konvexní }}

V geometrii je šestisetnadstěn (což je volný překlad anglického 600-cell), nebo také hexakosichoron platónské těleso ve čtyřrozměrném prostoru. Bývá považován za čtyřrozměrnou analogii dvacetistěnu.

3povrch 600nadstěnu je tvořen ze 600 nadstěn majících tvar čtyřstěnu. V jednom vrcholu se potkává 20 nadstěn. +more 600nadstěn má 1 200 trojúhelníkových stěn, 720 hran a 120 vrcholů. Duálním tělesem je 120nadstěn.

Objem, povrch a další parametry

Následující vzorce udávají, jaký je objem 600nadstěnu, a jeho k-rozměrné povrchy (což je vždy obsah k-rozměrné stěny krát počet těchto stěn) v závislosti na hraně a.

S_{1D} je tedy délka všech hran kostry 600nadstěnu.

V_{4D}=\frac{25}{4}\left(2+\sqrt{5}\right)a^4

S_{3D}= 50 \sqrt{2}\ a^3

S_{2D}= 300 \sqrt{3}\ a^2

S_{1D}=720\ a\,

Poloměr vepsané koule je

\rho=\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)}{2\sqrt{2}}a

a poloměr koule opsané je

r=\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)}{2}a

Kartézská soustava souřadnic

Je-li délka hrany 1/φ (kde φ = (1+√5)/2 je zlatý řez), pak 120 vrcholů 600nadstěnu má následující souřadnice:

:(±½,±½,±½,±½), (všechny kombinace znamének ⇒ 16 vrcholů)

:(0,0,0,±1) (permutace přes všechny souřadnice ⇒ 8 vrcholů)

:½(±1,±φ,±1/φ,0) (sudé permutace ⇒ 96 vrcholů).

Přitom zjevně prvních 16 vrcholů jsou vrcholy teseraktu, následujících 8 vrcholů tvoří vrcholy 16nadstěnu prvních 16+8 vrcholů tvoří dohromady vrcholy 24nadstěnu.

Pokud tyto čtveřice souřadnic interpretujeme jako kvaterniony, potom 120 vrcholů 600nadstěnu tvoří uzavřenou konečnou grupu, která je izomorfní grupě SL(2,5).

Externí odkazy

[url=https://web. archive. +moreorg/web/20060512045219/http://www. uoregon. edu/~koch/hypersolids/hypersolids. html]HyperSolids[/url] je open source program pro Macintosh (Mac OS X a vyšší).

Reference

Kategorie:Algebraické struktury Kategorie:Vícerozměrné geometrické útvary Kategorie:Úhelníky