Airyho funkce

Technology

12 hours ago

Author

Airyho funkce \mathrm{Ai}(x) je vyšší transcendentní funkce pojmenovaná podle britského matematika a astronoma George Airyho. Funkce \mathrm{Ai}(x) a s ní příbuzná funkce \mathrm{Bi}(x) tvoří řešení diferenciální rovnice :y-xy=0, která je známa jako Airyho nebo Stokesova rovnice. Přesné řešení této rovnice má tvar :y=c_1\mathrm{Ai}(x)+c_2\mathrm{Bi}(x), kde c_1 a c_2 jsou neznámé reálné (popřípadě komplexní) koeficienty (integrační konstanty). Toto řešení má charakteristický tvar, kde funkce prvně osciluje, poté však exponenciálně roste nebo klesá.

Definice

Airyho funkce je definována integrálním tvarem :\operatorname{Ai}(x) = \dfrac{1}{\pi}\int_0^\infty\cos\left(\dfrac{t^3}{3} + xt\right)\, \mathrm{d}t. A podobně i funkce \mathrm{Bi}(x). +more :\operatorname{Bi}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \left[\exp\left(-\tfrac{t^3}{3} + xt\right) + \sin\left(\tfrac{t^3}{3} + xt\right)\,\right]\mathrm{d}t V grafu jsou vidět výše zmíněné vlastnosti. Obě funkce pro x oscilují, ovšem v bodě x=0 se situace změní. Pro x>0 funkce \mathrm{Ai}(x) exponenciálně klesá a funkce \mathrm{Bi}(x) naopak exponenciálně roste.

Užití

Kvantová mechanika

Airyho funkci obsahuje například vlnová funkce částice, která se pohybuje v jednodimenzionálním prostoru a současně v homogenním potenciálovém poli. Schrödingerova rovnice pro takovou částici vypadá následovně: :E\Psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+Fx\Psi, kde E je celková energie částice, \Psi její vlnová funkce a m její hmotnost. +more \hbar značí redukovanou Planckovu konstantu, x polohu částice a F sílu, která na částici působí. Rovnici upravíme do přehlednějšího tvaru.

:\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}=\frac{2mF}{\hbar^2}\left(x-\frac{E}{F}\right)\Psi Vlnová funkce částice pak má předpis :\Psi(x)=c_1\operatorname{Ai}\left(\sqrt[3]{\frac{2mF}{\hbar^2}}\left(x-\frac{E}{F}\right)\right)+c_2\operatorname{Bi}\left(\sqrt[3]{\frac{2mF}{\hbar^2}}\left(x-\frac{E}{F}\right)\right), kde c_1 a c_2 jsou komplexní koeficienty. Pokud však máme částici naprosto volnou v celém jednodimenzionálním vesmíru a nemáme nijak specificky dané podmínky pro jeho hranice, bude mít vlnová funkce trochu jednodušší tvar. +more Jde o to, že pro x menší než \frac{E}{F} (v místech, kde je energie částice větší než potenciální) má částice oscilující vlnovou funkci, kdežto v případě kdy částice překoná vzdálenost \frac{E}{F}, začne její funkce exponenciálně klesat nebo růst. Tento jev nastane právě proto, že se částice v takovém momentu dostane do poloh s vyšším potenciálem, než je mechanická energie částice. Z klasické mechaniky by se do takových míst nemělo těleso nikdy dostat, ale kvantová mechanika tento děj připouští, dokonce pro něj má i speciální označení: tunelový jev. Nicméně z logiky věci a našich zkušeností s kvantovým tunelováním by pravděpodobnost výskytu částice měla s rostoucí polohou neustále slábnout a blížit se k nule. Není totiž možné, aby se částice nacházela v místě, na jehož dosažení její energie nestačí, mnohonásobně pravděpodobněji než v místech, kterých může bezpečně dosáhnout i bez tunelování. Natož pak, aby pravděpodobnost rostla se zvyšující se polohou x. Musí tomu být přesně naopak. Tuto podmínku lze vyjádřit matematicky jako :\lim_{x\rightarrow \infty}\Psi(x)=0. Této podmínky je možné dosáhnout pouze položením c_2=0. Vlnová funkce tak získává mnohem elegantnější tvar. :\Psi(x)=c_1\operatorname{Ai}\left(\sqrt[3]{\frac{2mF}{\hbar^2}}\left(x-\frac{E}{F}\right)\right) Koeficient c_1 je možné určit normalizací vlnové funkce. Menší problém je, že hustota pravděpodobnosti \rho(x)=|\Psi|^2=\left(|c_1| \operatorname{Ai}(x)\right)^2 po integrování na celém prostoru nedává konečný výsledek, takový integrál je divergentní. Tím pádem funkci nelze normalizovat. Na druhou stranu pokud prostor ohraničíme zleva a částice se bude moct pohybovat pouze v intervalu \langle x_0, \infty), kde x_0 tvoří určitý hraniční bod tohoto světa na polopřímce, integrál hustoty pravděpodobnosti v tomto intervalu bude konvergentní a vlnovou funkci bude možné normalizovat. :\int_{x_0}^\infty\rho(x)\,\mathrm{d}x=|c_1|^2\int_{x_0}^\infty{\operatorname{Ai}\left(\sqrt[3]{\frac{2mF}{\hbar^2}}\left(x-\frac{E}{F}\right)\right)}^2\,\mathrm{d}x=1 Zároveň se neporuší logická podmínka pro tunelování \lim_{x\rightarrow \infty}\Psi(x)=0, protože směrem doprava, do vyšších potenciálních energií má částice volný přístup. Kdybychom hypotetický 1D vesmír omezili zprava, podmínka c_2=0 by už nemusela být nezbytnou.