Argument hyperbolického kosinu

Graf funkce argument hyperbolického kosinu

Argument hyperbolického kosinu je hyperbolometrická funkce. Značí se \operatorname{argcosh} x, někdy také \operatorname{arccosh} x nebo \operatorname{ach} x, případně \operatorname{cosh}^{-1} x.

Definice

Argument hyperbolického kosinu je definován jako funkce inverzní k hyperbolickému kosinu definovanému na intervalu \langle0, \infty ). Platí \operatorname{argcosh} x =\ln \left (x + \sqrt{x^2-1} \right ).

Vlastnosti

Definiční obor funkce : \langle1, \infty )

* Obor hodnot funkce : \langle0, \infty )

* Argument hyperbolického kosinu není sudá ani lichá funkce.

* Inverzní funkcí k argumentu hyperbolického kosinu je \cosh (x) na intervalu \langle 0;\,\infty).

* Derivace: : \frac{d}{dx}\operatorname{argcosh}\,x = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}

* Neurčitý integrál: : \int \operatorname{argcosh}\,x \mathrm{d}x = x \operatorname{argcosh}\,x -\sqrt{x^2-1} + C, kde C je integrační konstanta.

* Zdola omezená, rostoucí funkce * Neperiodická

Vzorce

\operatorname{argcosh}\,(\mathrm{i}x) =\mathrm{i}\arccos x *\ln\,x =\operatorname{argcosh}\,\frac{x^2+1}{2x} *|\operatorname{argcosh}\,x +\operatorname{argcosh}\,y|=\operatorname{argcosh}\,\left( xy \pm \sqrt{(x^2-1)(y^2-1)}\right),\,x\ge 1,y\ge 1 *\operatorname{argcosh}\,x =\operatorname{argsinh}\,\sqrt{x^2-1},x\ge 1 *\operatorname{argcosh}\,x =\operatorname{argtanh}\,\frac{\sqrt{x^2-1}}{x},x\ge 1 *\operatorname{argcosh}\,x =\operatorname{argcoth}\,\frac{x}{\sqrt{x^2-1}},x> 1 *\operatorname{argcosh}\,x = \ln(2x) - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right)

Užití

Výpočet x-ové souřadnice na řetězovce, známe-li y-ovou hodnotu (stavebnictví, architektura). * Řešení kubické rovnice x^3+px+q=0 pro případ, že p a diskriminant 4p^3+27q^2>0 (rovnice má v tomto případě právě jedno reálné řešení). +more Pak x= -2\frac

q

{q}\sqrt{-\frac{p}{3}}\cosh\left[\frac{1}{3}\operatorname{arcosh}\left(\frac{-3|q|}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)\right] .

Literatura

BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 3., rev. vyd. Praha: Mladá fronta, 1996. ISBN 80-204-0607-7.

Kategorie:Matematické funkce Kategorie:Hyperbolometrické funkce