Cesko.wiki Babylónská metoda
Technology
12 hours ago
8
4
2
Author
Albert FloresBabylónská metoda výpočtu druhé odmocniny (též Hérónova metoda) je iterační postup, při kterém se odhad hodnoty odmocniny postupně upřesňuje výpočtem aritmetického průměru odhadu a podílu odmocňovaného čísla a odhadu.
Postup výpočtu
Pro výpočet \sqrt{a} se opakovaně počítá:
x_{n+1} = \frac{x_n + \frac{a}{x_n}}{2}
Jako počáteční odhad x_{0} lze použít \frac{a}{2} (pro hledání kladného kořene), -\frac{a}{2} (pro hledání záporného kořene) a nebo vhodné jiné číslo, které má poloviční počet číslic než a.
Babylónská metoda vede ke stejnému výpočtu jako numerické řešení rovnice x^2 - a = 0 Newtonovou metodou (metoda tečen).
Příklad
| {a} | 0,01 | 1 | 2 | 100 |
|---|---|---|---|---|
| x_{0} = {a}/{2} | 0,005 | 0,5 | 1 | 50 |
| x_{1} = \frac{x_0 + \frac{a}{x_0}}{2} | 1,002500000000 | 1,250000000000 | 1,500000000000 | 26,000000000000 |
| x_{2} = \frac{x_1 + \frac{a}{x_1}}{2} | 0,506237531172 | 1,025000000000 | 1,416666666667 | 14,923076923077 |
| x_{3} = \frac{x_2 + \frac{a}{x_2}}{2} | 0,262995552059 | 1,000304878049 | 1,414215686275 | 10,812053925456 |
| x_{4} = \frac{x_3 + \frac{a}{x_3}}{2} | 0,150509504406 | 1,000000046461 | 1,414213562375 | 10,030495203890 |
| x_{5} = \frac{x_4 + \frac{a}{x_4}}{2} | 0,108475245618 | 1,000000000000 | 1,414213562373 | 10,000046356508 |
| x_{6} = \frac{x_5 + \frac{a}{x_5}}{2} | 0,100331088387 | 1,000000000000 | 1,414213562373 | 10,000000000107 |
| x_{7} = \frac{x_6 + \frac{a}{x_6}}{2} | 0,100000546289 | 1,000000000000 | 1,414213562373 | 10,000000000000 |
| x_{8} = \frac{x_7 + \frac{a}{x_7}}{2} | 0,100000000001 | 1,000000000000 | 1,414213562373 | 10,000000000000 |
| x_{9} = \frac{x_8 + \frac{a}{x_8}}{2} | 0,100000000000 | 1,000000000000 | 1,414213562373 | 10,000000000000 |