Benfordův zákon

Benfordův zákon, někdy též Newcombův-Benfordův zákon, je matematický zákon, který říká, že v mnoha souborech přirozených dat (ale ne ve všech) začínají čísla mnohem častěji číslicí 1 než jinou číslicí. Zhruba 30 % čísel začíná jedničkou. Čím vyšší počáteční číslice je, tím méně pravděpodobně se vyskytuje na začátku čísel.

Ve skupině čísel reprezentujících reálné hodnoty čehokoli je asi 30% pravděpodobnost, že první číslovkou bude jednička. Dále pak 17,6 % čísel bude začínat dvojkou, 12,5 % trojkou a jen 4,57 % devítkou. +more Nejde o žádný matematický trik, ale o skutečný přírodní zákon, jímž se řídí soubory jakýchkoli přirozených dat bez ohledu na jejich podstatu nebo fyzikální jednotky. Jedinou podmínkou je, že data musí být v minimálním rozsahu tří logaritmických intervalů (tj. v minimálním rozsahu tří desítkových řádů).

Tuto skutečnost poprvé objevil a zveřejnil kanadsko-americký matematik a astronom Simon Newcombe v článku „Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers“ publikovaném v American Journal of Mathematics (1881, č. 4, s. +more 39-40). Upozornil na skutečnost, že logaritmické tabulky v technické knihovně mají mnohem více ohmatané první stránky, tzn. stránky s čísly počínajícími jedničkou, než stránky na konci, tzn. stránky s čísly začínajícími číslicí 9. Usoudil, že uživatelé logaritmických tabulek (vědci a studenti přírodovědných a společenských oborů) se při své práci častěji setkávají s čísly začínajícími číslicí 1 nebo 2 než s čísly začínajícími číslicí 8 nebo 9. Na první pohled se zdá přirozené předpokládat, že první platná číslice čísel, s nimiž se lidé setkávají, bude se stejnou pravděpodobností jednička, dvojka i devítka. S touto intuitivní představou je však Newcombovo tvrzení v rozporu.

Newcombe neuvedl žádnou analýzu konkrétních souborů dat, pokusil se však o určité matematické zdůvodnění výsledku. Článek upadl v zapomnění - autorovu tvrzení nebyla věnována pozornost několik desetiletí.

Tento z určitého hlediska přírodní jev znovu objevil v roce 1938 fyzik Frank Benford. Svá zjištění publikoval v článku „The Law of Anomalous Numbers“ v Proceedings Of The American Philosophical Society (1938, vol. +more 78, no. 4, s. 551-572). Na rozdíl od Newcomba založil svá tvrzení na empirických pozorováních. Několik let shromažďoval číselné údaje z různých zdrojů a oborů (např. plochy povodí 335 řek, měrné skupenské teplo 1389 chemických sloučenin, čísla vyskytující se na titulní stránce novin a další). Dohromady zpracoval více než 20 000 číselných údajů ve 20 různých souborech dat a ukázal, že první číslice se opravdu nevyskytují všechny stejně často. I proto se pro zmíněnou zákonitost užívá pojmenování Benfordův zákon.

Simon Newcomb i Frank Benford dospěli každý jinou cestou k vyjádření téhož.

Matematický zápis

Počáteční číslice n (n \in \{1, . , b-1\}) čísla v soustavě o základu b (b\ge 2) se objevuje s pravděpodobností \log_b(n+1)-\log_b(n). +more V desítkové soustavě (b=10) dodržují počáteční číslice podle Benfordova zákona následující rozložení:.

Aplikace

Benfordův zákon lze aplikovat při jednoduchém testování regulérnosti voleb, odhalování účetních podvodů (vč. národních účtů), při analýze zaokrouhlovacích chyb při rozsáhlých numerických výpočtech, jako doplňkový test k dalším metodám zkoumání kvality makroekonomických dat aj.

Konkrétně u voleb není Benfordův zákon sám o sobě důkazem podvodu, ale vodítkem nebo indikací k tomu, že k němu mohlo dojít, přičemž někdy mohou být „anomálie“ vysvětleny. U statistických dat je potřeba, aby se vstupní údaje lišily o několik řádů k tomu, aby se chovaly podle Benfordova zákona. +more Konkrétně k aplikaci tohoto zákona jako pomůcky pro zjišťování volebních podvodů existuje vědecká práce z univerzity v Cambridge z roku 2011, která mimo jiné říká: „Pokud dojde k vyrovnanému soupeření dvou kandidátů ve volebních okrscích s počtem voličů řádově mezi 100 až 1000 na okrsek, pak první číslice počtu hlasů u každého kandidáta nebudou 1 nebo 2, ale spíše 4, 5 nebo 6. “.

Zajímavosti

Zřejmě první významnější zmínkou o Benfordově zákoně v češtině je krátký článek Pavla Kantorka (profesora fyziky a karikaturisty) z roku 1998 v časopise Vesmír. * Benfordův zákon byl několik desetiletí po svém objevu považován za pouhou zvláštnost, nikoli za matematický fakt.

Odkazy

Reference

Literatura

BELLOS, Alex. Alex za zrcadlem: jak se čísla odrážejí v životě a život v číslech. +more Překlad Ondrej Majer. Praha: Dokořán, 2016. 286 s. . * BERGER, A. ; HILL, T. P. and E. ROGERS. Benford Online Bibliography. May 1, 2015 [url=://www. benfordonline. net/ * DVOŘÁK, Jiří. Benfordovo rozdělení. Praha, 2008. 52 s. Bakalářská práce. Ved. práce doc. Mgr. Zdeněk Hlávka, Ph. D. , oponent RNDr. Michal Pešta, Ph. D. Matematicko-fyzikální fakulta UK, Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. Přístup také z:[/url]url=://is. cuni. cz/webapps/zzp/detail/47310/ * HANZAL, Petr a FALTOVÁ LEITMANOVÁ, Ivana. Ověření platnosti Benfordova modelu v oboru účetních dat podnikatelských subjektů v České republice. Acta Universitatis Bohemiae Mendionales. 2010, č. 4, s. 39-45. ISSN 1212-3285. * HANZAL, Petr; CHLÁDEK, Petr a BISKUP, Roman. ARS-Auditing Revision Systém v nadnárodních ERP systémech. Systémová integrace. 2012, č. 4, s. 70-79. * [HOUSER, Pavel]cit. 27. 7. 2019]. Dostupné z:[/url]. Taje Benfordova zákona. In: Sciencemag. cz [online] 6. 12. 2016 [cit. 28. 7. 2019]. Dostupné z: https://sciencemag. cz/taje-benfordova-zakona/ * KANTOREK, Pavel. Benfordův zákon. Vesmír. 1998, roč. 77, č. 10, s. 583. Dostupné také z: http://www. vesmir. cz/clanky/clanek/id/1890 * PLAČEK, Michal. Benfordův zákon: fakta a mýty. In: Bulletin komory certifikovaných účetních. 2013, č. 1. Praha: Komora certifikovaných účetních, 2013, s. 43-46. ISSN 2336-3576. * PLAČEK, Michal. Benfordův zákon, fakta a mýty. In: Nové trendy 2012. Sborník ze 7. mezinárodní vědecké konference. Znojmo: Soukromá vysoká škola ekonomická Znojmo, 2012, s. 193-199. . * ROSS, Kenneth A. Benford’s law, a growth industry. The American Mathematical Monthly. 2011, vol. 118, no. 8, s. 571-583. ISSN 0002-9890. * SEIBERT, Jaroslav a ZAHRÁDKA, Jaromír. O čem pojednává Benfordův zákon. Matematika - fyzika - informatika. 2016, vol. 25, iss. 2, s. 89-98. ISSN 1210-1761. Přístupné z: https://dk. upce. cz/handle/10195/67473 * SEIBERT, Jaroslav a ZAHRÁDKA, Jaromír. Zákon první číslice a jeho aplikace.

Externí odkazy

[url=https://archive.org/details/jstor-2369148/page/n1]Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers by Simon Newcomb[/url]

Kategorie:Statistické zákony