Bernoulliho schéma

Technology

12 hours ago

Author

Bernoulliho schéma se používá k výpočtu pravděpodobnosti při opakovaném pokusu. Provedeme sérii nezávislých náhodných pokusů, ve kterých nastává sledovaný výsledek, náhodný jev A, s pravděpodobností P(A)=p, 0. Pravděpodobnost P_n(k) toho, že se v sérii vyskytne náhodný jev A právě k-krát, k=0,1,2,...,n se rovná

P_n(k)=\begin{pmatrix} n\\ k\\ \end{pmatrix} p^k (1-p)^{n-k} , 0\le k\le n

Příklady

Příklad č. 1: Házíme desetkrát hrací kostkou. +more Jaká je pravděpodobnost, že právě čtyřikrát padne číslo 6. :Protože jde o sérii nezávislých jevů (daný hod nezávisí od předcházejícího), můžeme použít Bernoulliho schéma. Pravděpodobnost příznivého jevu je \frac{1}{6} a pravděpodobnost nepříznivého jevu je \frac{5}{6}. (Protože mohou padnout čísla 1,2,3,4 nebo 5. ).

P(A)=\begin{pmatrix} 10\\ 4\\ \end{pmatrix} \left(\frac{1}{6}\right)^4\left(\frac{5}{6}\right)^6 =210 \cdot \frac{1}{6^4} \cdot \frac{5^6}{6^6}=\frac{210 \cdot 5^6}{6^{10}}\doteq 0{,}05 :Tedy pravděpodobnost, že z 10 hodů hrací kostkou padne právě čtyřikrát číslo 6 je přibližně 5 %.

Příklad č. 2: Házíme hrací kostkou desetkrát. +more Jaká je pravděpodobnost, že alespoň čtyřikrát padne číslo 6. V tomto případě se ptáme, jaká je pravděpodobnost, že padne číslo 6 alespoň 4krát, tedy vlastně se ptáme, jaká je pravděpodobnost, že číslo 6 padne čtyřikrát, nebo pětkrát, nebo šestkrát, nebo sedmkrát, nebo osmkrát, nebo devětkrát, nebo desetkrát.

P(A)=\begin{pmatrix} 10\\ 4\\ \end{pmatrix} \left(\frac{1}{6}\right)^4\left(\frac{5}{6}\right)^6 + \begin{pmatrix} 10\\ 5\\ \end{pmatrix} \left(\frac{1}{6}\right)^5\left(\frac{5}{6}\right)^5 + \begin{pmatrix} 10\\ 6\\ \end{pmatrix} \left(\frac{1}{6}\right)^6\left(\frac{5}{6}\right)^4 + \begin{pmatrix} 10\\ 7\\ \end{pmatrix} \left(\frac{1}{6}\right)^7\left(\frac{5}{6}\right)^3 + \begin{pmatrix} 10\\ 8\\ \end{pmatrix} \left(\frac{1}{6}\right)^8\left(\frac{5}{6}\right)^2 + \begin{pmatrix} 10\\ 9\\ \end{pmatrix} \left(\frac{1}{6}\right)^9\left(\frac{5}{6}\right) + \begin{pmatrix} 10\\ 10\\ \end{pmatrix} \left(\frac{1}{6}\right)^{10}\doteq 0{,}07

:Pravděpodobnost, že z 10 hodů hrací kostkou padne alespoň čtyřikrát číslo 6 je přibližně 7 %.

Příklad č. 3: Házíme hrací kostkou třikrát. Jaká je pravděpodobnost, že právě jednou padne číslo 3?

P(A)=\begin{pmatrix} 3\\ 1\\ \end{pmatrix} \left(\frac{1}{6}\right)^1\left(\frac{5}{6}\right)^2 =\frac{25}{72}\doteq 0{,}347

:Pravděpodobnost, že z 3 hodů hrací kostkou padne právě jednou číslo 3 je přibližně 34,7 %.

Příklad č. 4: Střelec zasáhne cíl s pravděpodobností 0{,}7 přičemž vystřelil 10krát. Jaká je pravděpodobnost, že zasáhl cíl právě čtyřikrát?

P(A)=\begin{pmatrix} 10\\ 4\\ \end{pmatrix} (0{,}7)^4 (0{,}3)^6=0{,}036

:Pravděpodobnost, že z 10 výstřelů zasáhne právě čtyřikrát cíl je přibližně 3,6 %.

Příklad č. 5: Při testu v autoškole je 30 otázek z kterých v každé z nich jsou na výběr 3 odpovědi, přičemž správná je vždy jen jedna. +more Uchazeč o řidičský průkaz uspěje, pokud označí správně alespoň 27 otázek. Je takovéto testování spolehlivé.

Alespoň 27 znamená 27 nebo 28 nebo 29 nebo 30.

P(A)=\begin{pmatrix} 30\\ 3\\ \end{pmatrix} \left(\frac{2}{3}\right)^3\left(\frac{1}{3}\right)^{27} +\begin{pmatrix} 30\\ 2\\ \end{pmatrix} \left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{3}\right)^{28} +\begin{pmatrix} 30\\ 1\\ \end{pmatrix} \left(\frac{2}{3}\right)^1\left(\frac{1}{3}\right)^{29} +\begin{pmatrix} 30\\ 0\\ \end{pmatrix} \left(\frac{2}{3}\right)^0\left(\frac{1}{3}\right)^{30} \doteq 0

Pokud by uchazeč přišel na test nepřipravený a náhodně by vybíral otázky, pravděpodobnost, že si tipne alespoň 27 otázek správně, je prakticky nulová, tedy test je spolehlivý.