Bernsteinův polynom

Technology

12 hours ago

Author

V teorii numerické matematiky je Bernsteinův polynom, nebo také polynom v Bernsteinově tvaru, polynomem, který je lineární kombinací Bernsteinových bázových polynomů.

Numericky stabilní cestou k výpočtu Bernsteinových polynomů je tzv. Algoritmus de Casteljau.

Polynomy v Bernsteinově tvaru byly poprvé použity v konstrukčním důkaze Stoneovy-Weierstrassovy aproximační věty. S rozvojem počítačové grafiky se Bernsteinovy polynomy omezené na intervalu [0,1] staly důležitými ve formě Beziérových křivek.

Definice

n+1 Bernsteinových bázových polynomů stupně n je definováno vztahem :b_{\nu,n}(x) = {n \choose \nu} x^{\nu} (1-x)^{n-\nu}, \qquad \nu=0,\ldots,n. kde {n \choose \nu} je binomický koeficient.

Bernsteinovy bázové polynomy stupně n tvoří bázi vektorového prostoru polynomů stupně n.

Lineární kombinace Bernsteinových bázových polynomů :B(x) = \sum_{\nu=0}^{n} \beta_{\nu} b_{\nu,n}(x) se nazývá Bernsteinův polynom, neboli polynom v Bernsteinově tvaru stupně n. Koeficienty \beta_{\nu} jsou nazývány Bernsteinovy koeficienty, nebo také Beziérovy koeficienty.

Vlastnosti

====Rozklad jednotky==== Báze tvořená Bernsteinovými polynomy tvoří rozklad jednotky na intervalu .

: \sum_{i=0}^n{b_{i,n}(x)} = 1

==== Symetrie ==== V bázi tvořené Bernsteinovými polynomy existují vždy symetrické polynomy.

: b_{i,n}(x) = b_{n-i,n}(1-x)

Důkaz:

: b_{n-i,n}(1-x) = {n \choose n-i} (1-x)^{n-i} (1-(1-x))^{n-(n-i)}

Z vlastností kombinačních čísel vyplývá: : {n \choose i} = {n \choose n - i}

Nyní stačí upravit předchozí rovnici a získáme že: : b_{n-i,n}(1-x) = {n \choose n-i} (1-x)^{n-i} (1-(1-x))^{n-(n-i)} = {n \choose i} (1-x)^{n-i} (x)^{i} = b_{i,n}(x)

==== Rekurence ==== Bernsteinovy polynomy jsou rekurentní. To znamená že Bernsteinův polynom lze definovat použitím polynomu nižšího řádu.

: b_{i,n}(x) = (1-x)b_{i,n-1}(x) + tb_{i-1,n-1}(x)

==== Derivace ====

: b_{i,n}(x)' = n(b_{i-1,n-1}(x) - b{i, n-1}(x))

==== Lokální maximum ====

Na intervalu je maximum v bodě x=\frac{i}{n}.

Důkaz: Maximum najdeme skrze derivaci: : b_{i,n}(x)' = {n \choose i}x^{i-1}(1-x)^{n-i-1}[i(1-x)-x(n-i)]

Nyní můžeme nahlédnout, že pro body x=0,1 nezískáme nulovou derivaci. Proto zbývá pouze činitel v závorce, který můžeme položit nule. +more : i(1-x)-x(n-i) = 0 : i-ix -xn+ix = 0 : xn = i : x=\frac{i}{n}.

Že tento bod leží na intervalu vyplývá z nerovnosti 0\leq i \leq n.