Besselova funkce

Besselova funkce je řešení Besselovy rovnice :z^2 \frac{\mathrm{d}^2 w(z)}{\mathrm{d}z^2} + z \frac{\mathrm{d}w(z)}{\mathrm{d}z} + (z^2 - \nu^2)w(z) = 0 pro libovolné reálné číslo \nu, které je označováno jako řád Besselovy funkce. Funkce je pojmenována na počest německého matematika a fyzika Friedricha Wilhelma Bessela, který ji poprvé popsal.

Cylindrické funkce

Cylindrickou funkcí se nazývá libovolné řešení Besselovy rovnice

Besselova funkce

Není-li \nu celé číslo, pak lze obecné řešení Besselovy rovnice zapsat jako :w(z)= c_1 J_\nu(z) + c_2 J_{-\nu}(z), kde J_\nu(z) a J_{-\nu}(z) jsou lineárně nezávislé Besselovy funkce a c_1, c_2 jsou libovolné konstanty.

Besselovy funkce bývají také nazývány Besselovými funkcemi prvního druhu.

Besselova funkce řádu \nu je definována vztahem :J_\nu(z) = {\left(\frac{z}{2}\right)}^\nu \sum_{k=0}^\infty \frac{{(-1)}^k}{{K!}\Gamma(\nu+k+1)}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2k}, kde \Gamma(x) je gama funkce.

Je-li \nu=n celé číslo, pak platí :J_{-n}(z) = {(-1)}^n J_n(z), výše uvedená řešení tedy nejsou v tomto případě nezávislá.

Pro n=0,1,2,... lze Besselovu funkci vyjádřit v integrálním tvaru :J_n(z) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos(z \sin\theta - n\theta)\mathrm{d}\theta

Platí následující rekurentní vztahy :2\nu J_\nu(z) = z J_{\nu-1}(z) + z J_{\nu+1}(z) :2 J_\nu^\prime(z) = J_{\nu-1}(z) - J_{\nu+1}(z) :z J_\nu^\prime(z) = \nu J_\nu(z) - z J_{\nu+1}(z) :z J_\nu^\prime(z) = -\nu J_\nu(z) + zJ_{\nu-1}(z)

Neumannova funkce

Je-li \nu=n celé číslo, pak J_n(z) a J_{-n}(z) nejsou lineárně nezávislé. V takovém případě má obecný integrál tvar :w(z) = c_1 J_n(z) + c_2 N_n(z), kde N_n(z) je tzv. +more Neumannova funkce (někdy též Weberova funkce), které jsou také řešením Besselovy rovnice.

Pro Neumannovy funkce se používá označení Besselovy funkce druhého druhu.

Neumannovy funkce jsou pro celočíselná \nu=n definovány vztahem :N_n(z) = \lim_{\nu \to n} \frac{J_\nu(z)\cos\nu\pi - J_{-\nu}(z)}{\sin\nu\pi} Pro \nu různé od celého čísla je pak Neumannova funkce definována vztahem :N_\nu(z) = \frac{J_\nu(z)\cos\nu\pi - J_{-\nu}(z)}{\sin\nu\pi}

Je-li \nu=n celé číslo, pak platí :N_{-n}(z) = {(-1)}^n N_n(z)

Mezi Besselovými a Neumannovými funkcemi platí vztah :J_\nu(z) N_{\nu+1}(z) - J_{\nu+1}(z) N_\nu(z) = -\frac{2}{\pi z}

Platí následující rekurentní vztahy :2\nu N_\nu(z) = z N_{\nu-1}(z) + z N_{\nu+1}(z) :2 N_\nu^\prime(z) = N_{\nu-1}(z) - N_{\nu+1}(z) :z N_\nu^\prime(z) = \nu N_\nu(z) - z N_{\nu+1}(z) :z N_\nu^\prime(z) = -\nu N_\nu(z) + zN_{\nu-1}(z)

Hankelova funkce

Důležitými cylindrickými funkcemi jsou tzv. Hankelovy funkce H_\nu^{(1)}(z) a H_\nu^{(2)}(z), které jsou definovány jako :H_\nu^{(1)}(z) = J_\nu(z) + \mathrm{i}N_\nu(z) :H_\nu^{(2)}(z) = J_\nu(z) - \mathrm{i}N_\nu(z)

Hankelova funkce bývá také označována jako Besselova funkce třetího druhu.

Sférické cylindrické funkce

Sférickou cylindrickou funkcí nazveme každé řešení rovnice :z^2 \frac{\mathrm{d}^2 w(z)}{\mathrm{d}z^2} + 2z \frac{\mathrm{d}w(z)}{\mathrm{d}z} + \left[z^2 - l(l+1)\right]w(z)=0 pro celá nezáporná l.

Za dvě nezávislá řešení lze zvolit sférickou Besselovu funkci :j_l(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}} J_{l+\frac{1}{2}}(z) a sférickou Neumannovu funkci :n_l(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}} N_{l+\frac{1}{2}}(z) = {(-1)}^{l+1}\sqrt{\frac{\pi}{2z}} J_{-l-\frac{1}{2}}(z), kde J_n jsou Besselovy funkce a N_n jsou Neumannovy funkce.

Mezi sférickými Besselovými a sférickými Neumannovými funkcemi platí vztah :j_l(z)n_{l+1}(z) - j_{l+1}(z)n_l(z) = -z^{-2}

Jinou dvojicí nezávislých řešení jsou sférické Hankelovy funkce :h_l^{(1)}(z) = j_l(z) + \mathrm{i}n_l(z) :h_l^{(2)}(z) = j_l(z) - \mathrm{i}n_l(z)

Sférické cylindrické funkce lze vyjádřit následujícími vztahy :j_l(z) = {(-z)}^l {\left(\frac{\mathrm{d}}{z\mathrm{d}z}\right)}^l \frac{\sin z}{z} :n_l(z) = -{(-z)}^l {\left(\frac{\mathrm{d}}{z\mathrm{d}z}\right)}^l \frac{\cos z}{z} :h_l^{(1)}(z) = -\mathrm{i}{(-z)}^l {\left(\frac{\mathrm{d}}{z\mathrm{d}z}\right)}^l \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}}{z}

Lze ukázat, že platí :j_l(-z) = {(-1)}^l j_l(z) :n_l(-z) = {(-1)}^{l+1} n_l(z) :h_l^{(1)}(-z) = {(-1)}^l h_l^{(2)}(z) :h_l^{(2)}(-z) = {(-1)}^l h_l^{(1)}(z)

Modifikovaná Besselova funkce

Modifikované Besselovy funkce jsou řešením modifikované Besselovy rovnice :z^2 \frac{\mathrm{d}^2 w(z)}{\mathrm{d}z^2} + z \frac{\mathrm{d}w(z)}{\mathrm{d}z} - (z^2 + \nu^2)w(z) = 0

Modifikovaná Besselova funkce prvního druhu

Není-li \nu celé číslo, pak má řešení modifikované Besselovy rovnice tvar :w(z) = c_1 I_\nu(z) + c_2 I_{-\nu}(z), kde I_\nu(z) je modifikovaná Besselova funkce prvního druhu, která je definována vztahem :I_\nu(z) = {\left(\frac{z}{2}\right)}^\nu \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{{K!}\Gamma(\nu+k+1)}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2k}

Modifikovanou Besselovu funkci lze vyjádřit pomocí Besselovy funkce jako :I_\nu(z) = \mathrm{i}^{-\nu} J_\nu(\mathrm{i}z)

Modifikovaná Besselova funkce druhého druhu

Pro celá \nu=n platí :I_{-n}(z) = I_n(z) Pro celá n tedy nejsou I_n(z) a I_{-n}(z) lineárně nezávislé funkce a obecné řešení modifikované Besselovy rovnice je nutné vyjádřit ve tvaru :w(z) = c_1 I_n(z) + c_2 K_n(z), kde K_n(z) je modifikovaná Besselova funkce druhého druhu (označovaná též jako MacDonaldova funkce).

Pro necelé \nu je definováno :K_\nu(z) = \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\nu}(z) - I_\nu(z)}{\sin \nu\pi} Pro celá \nu=n pak platí :K_n(z) = \lim_{\nu \to n} \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\nu}(z) - I_\nu(z)}{\sin \nu\pi}

Fresnelův ohyb světla na hraně

Důležitým příkladem Besselovy funkce je Fresnelův ohyb světla na hraně.

+more V_případě_osvětlení_monochromatické_světlo|monochromatickým_světlem_dochází_při_ohybu_na_hraně_ke_vzniku_ohybových_proužků,_které_jsou_rovnoběžky|rovnoběžné_s_přímou_hranou. V_horní_části_je_zobrazen_pozorovaný_jev,_a_ve_spodní_části_je_rozdělení_intenzita_světla'>intenzity světla. .

Související články

Diferenciální rovnice * Friedrich Wilhelm Bessel

Externí odkazy

Literatura

Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání.

Kategorie:Matematické funkce