Cesko.wiki Bornova řada
Author
Albert FloresBornova řada je označení pro několik olomouckých městských domů na Horním náměstí, čp. 7-15. Tvoří ji sedm domů ve stylu severoitalského a nizozemského manýrismu, které vznikly v průběhu 16. století. Domy jsou pojmenovány podle svých původních majitelů. Bornova řada je významnou architektonickou památkou a představuje důležitou součást historického jádra Olomouce. Domy jsou zapsány na seznamu kulturních památek UNESCO.
Bornovou řadou se rozumí rozvoj různých rozptylových veličin v kvantové teorii rozptylu do řady v mocninách interakčního potenciálu V (přesněji v mocninách G_0 V, kde G_0 je Greenův operátor pro volnou částici). Omezením se na členy do prvního řádu dostaneme Bornovu aproximaci. Tato řada se dá chápat jako mocninná řada ve vazbové konstantě, kterou zavedeme substitucí V \to \lambda V . Rychlost a poloměr konvergence Bornovy řady jsou dány vlastními čísly operátoru G_0 V . Obecně lze říci, že první členy Bornovy řady dobře aproximují příslušnou veličinu pro "slabý" potenciál V a pro velkou srážkovou energii.
Bornova řada pro rozptylové stavy
Bornovu řadu pro rozptylové stavy můžeme zapsat následovně : |\psi\rangle = |\phi \rangle + G_0(E) V |\phi\rangle + [G_0(E) V]^2 |\phi\rangle + [G_0(E) V]^3 |\phi\rangle + \dots Lze ji odvodit iterováním Lippmanovy-Schwingerovy rovnice : |\psi\rangle = |\phi \rangle + G_0(E) V |\psi\rangle. Greenův operátor G_0 volné částice, který se zde vyskytuje může být retardovaný/advanceovaný nebo ve smyslu hlavní hodnoty, pokud požadujeme retardované |\psi^{(+)}\rangle , advanceované |\psi^{(-)}\rangle nebo rozptylové řešení ve smyslu stojaté vlny |\psi^{(P)}\rangle . +more První iteraci dostaneme nahrazením rozptylového řešení |\psi\rangle vlnovou funkcí volné částice |\phi\rangle na pravé straně Lippmannovy-Schwingerovy rovnice a dostaneme tak první Bornovu aproximaci. Pro druhou iteraci dosadíme na pravou stranu první Bornovu aproximaci. Výsledek se nazývá druhá Bornova aproximace. Obecně pro obdržení n-té Bornovy aproximaci vezmeme n členů řady. Bornovu řadu můžeme formálně vysčítat jako geometrickou řadu s kvocientem daným operátorem G_0 V . Tak dostaneme formální řešení Lippmannovy-Schwingerovy rovnice ve tvaru : |\psi\rangle = [I - G_0(E) V]^{-1} |\phi \rangle = [V - VG_0(E) V]^{-1} V |\phi \rangle .
Bornova řada pro T-matici
Bornovu řadu můžeme napsat také pro další rozptylové veličiny jako je T-matice, která je úzce spojená s amplitudou rozptylu. Iterováním Lippmannovy-Schwingerovy rovnice pro T-matici dostaneme : T(E) = V + V G_0(E) V + V [G_0(E) V]^2 + V[G_0(E) V]^3 + \dots V případě T-matice je za G_0 potřeba dosadit retardováný Greenův operátor G_0^{(+)}(E) . +more Greenův operátor ve smyslu hlavní hodnoty pak vede na K-matici.
Bornova řada pro plný Greenův operátor
Lippmannova-Schwingerova rovnice pro Greenův operátor se nazývá rezolventní rovnice (rezolventní identita) : G(E) = G_0(E) + G_0(E) V G(E). Řešením této rovnice dostaneme Bornovu řadu pro plný Greenův operátor G(E)=(E-H+i\epsilon)^{-1} : G(E) = G_0(E) + G_0(E) V G_0(E) + [G_0(E) V]^2 G_0(E) + [G_0(E) V]^3 G_0(E) + \dots
Odkazy
Literatura
Jiří Formánek: Úvod do kvantové teorie I.,II., Academia, (2004).
Související články
Lippmannova-Schwingerova rovnice * Kvantová teorie rozptylu * T-matice * Greenův operátor