Bretschneiderův vzorec

Čtyřúhelník V geometrii je Bretschneiderův vzorec následující výraz pro obsah obecného čtyřúhelníku:

::S = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}

= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{2} abcd [ 1 + \cos (\alpha+ \gamma) ]}

Zde, jsou strany čtyřúhelníka, je poloviční obvod, a a jsou dva protilehlé úhly.

Bretschneiderův vzorec lze použít na jakémkoli čtyřúhelníku, ať už je pravidelný, nebo ne.

Německý matematik Carl Anton Bretschneider objevil vzorec v roce 1842. Vzorec byl také odvozen ve stejném roce německým matematikem Karlem Georgem Christianem Staudtem.

Důkaz

Označte obsah čtyřúhelníku S je pak:

: \begin{align} S &= \text{obsah} \triangle ADB + \text{obsah } \triangle BDC \\ &= \frac{a d \sin \alpha}{2} + \frac{b c \sin \gamma}{2}. \end{align}

Proto

2S= (ad) \sin \alpha + (bc) \sin \gamma.

4S^2 = (ad)^2 \sin^2 \alpha + (bc)^2 \sin^2 \gamma + 2abcd \sin \alpha \sin \gamma.

Věta kosinova naznačuje

a^2 + d^2 -2ad \cos \alpha = b^2 + c^2 -2bc \cos \gamma,

:

protože obě strany se rovnají čtverci délky diagonály . To může být přepsáno jako

\frac{(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2}{4} = (ad)^2 \cos^2 \alpha +(bc)^2 \cos^2 \gamma -2 abcd \cos \alpha \cos \gamma.

:

Přidá se k výše uvedenému vzorci 4S^2

\begin{align} 4S^2 + \frac{(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2}{4} &= (ad)^2 + (bc)^2 - 2abcd \cos (\alpha + \gamma) \\ &= (ad+bc)^2-2abcd-2abcd\cos(\alpha+\gamma) \\ &= (ad+bc)^2 - 2abcd(\cos(\alpha+\gamma)+1) \\ &= (ad+bc)^2 - 4abcd\left(\frac{\cos(\alpha+\gamma)+1}{2}\right) \\ &= (ad + bc)^2 - 4abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right). \end{align}

Všimněte si, že: \cos^2\frac{\alpha+\gamma}{2} = \frac{1+\cos(\alpha+\gamma)}{2}

Podle stejných kroků jako ve vzorci Brahmagupty to může být napsáno jako

16S^2 = (a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d) - 16abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)

Představení polovičního obvodu

s = \frac{a+b+c+d}{2},

dosazením výše

16S^2 = 16(s-d)(s-c)(s-b)(s-a) - 16abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)

S^2 = (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)

a Bretschneiderův vzorec následuje po druhé odmocnině obou stran:

S = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}

Související vzorce

Bretschneiderův vzorec zobecňuje vzorec Brahmaguptyho pro oblast tětivového čtyřúhelníku, který zase zobecňuje Heronův vzorec pro obsah trojúhelníku.

Trigonometrické přizpůsobení ve vzorci Bretschneidera pro necyklickost čtyřúhelníku může být přepsáno netrigonometricky z hlediska stran a diagonál a

\begin{align} S &=\tfrac{1}{4}\sqrt{4e^2f^2-(b^2+d^2-a^2-c^2)^2} \\ &=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{4}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}. \end{align}

Poznámky

Reference

Odkazy a další čtení

Ayoub B. Ayoub: Zobecnění Ptolemaia a Brahmaguptaových vědomostí . +more Matematika a počítačová výchova, číslo 41, číslo 1, 2007, * EW Hobson : Pojednání o rovinné trigonometrii . Cambridge University Press, 1918, s. 204-205 ( online kopie ) * CA Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 ( [url=https://books. google. de/books. id=7vxZAAAAYAAJ&pg=PA225]online kopie, němčina[/url] ) * F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes . Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 ( [url=https://books. google. de/books. id=7vxZAAAAYAAJ&pg=PA323]online kopie, němčina[/url] ).

Externí odkazy

Kategorie:Čtyřúhelníky Kategorie:Údržba:Články s nekontrolovanými překlady