Cesko.wiki Buckinghamův π teorém
Author
Albert FloresBuckinghamův π-teorém je důležitým konceptem ve fyzice a inženýrství, který umožňuje analýzu fyzikálních jevů na základě dimenzionálního analýzy. Tento teorém byl vyvinut v roce 1914 britským vědcem Edgarem Buckinghamem a je pojmenován po něm. Podstatou Buckinghamova π-teorému je, že každý fyzikální problém lze popsat pomocí soustavy dimenzionálně nezávislých proměnných, označených jako π-čísla. Tato π-čísla jsou kombinacemi dimenzí původních fyzikálních veličin, které vystupují ve vztahu k danému jevu. Hlavním přínosem Buckinghamova π-teorému je možnost redukce počtu nezávislých proměnných v daném fyzikálním problému. To znamená, že je možné analyzovat a modelovat složité fyzikální jevy pomocí menšího počtu nezávislých proměnných. Tím se výrazně zjednodušuje matematický model a usnadňuje se výpočet a porozumění danému jevu. Buckinghamův π-teorém je důležitým nástrojem ve fyzikálním a inženýrském výzkumu, který se využívá při studiu proudění tekutin, tepelných přenosů, mechanických vibrací a mnoha dalších jevů. Tento teorém je také základem pro dimenzionální analýzu a dimenzionální análýzu v jejím širším smyslu. Celkově lze říci, že Buckinghamův π-teorém je klíčovým konceptem ve fyzice a inženýrství, který slouží k analýze fyzikálních jevů na základě dimenzionálního výpočtu. Tento teorém má široké uplatnění ve vědeckém výzkumu a technických aplikacích.
Edgar Buckingham kolem roku 1886 Buckinghamův \pi teorém je v inženýrství, aplikované matematice a fyzice důležitým nástrojem pro rozměrovou analýzu. Zjednodušeně řečeno teorém tvrdí, že počet proměnných ve fyzikálně smysluplné rovnici je možno redukovat v závislosti na tom, kolik fyzikálních veličin v této rovnici vystupuje pomocí kolika fyzikálních jednotek jsou tyto veličiny vyjádřeny. Po redukci je rovnice vyjádřena pomocí bezrozměrných veličin označovaných \pi_1, \pi_2, atd., což dalo tomuto tvrzení název.
Věta poskytuje metodu pro výpočet množin bezrozměrných parametrů z daných proměnných neboli nondimenzionizaci, i když tvar rovnice je stále neznámý.
Buckinghamův \pi teorém naznačuje, že platnost fyzikálních zákonů nezávisí na konkrétní jednotkové soustavě. Tvrzení této věty je možno interpretovat tak, že jakýkoli fyzikální zákon lze vyjádřit jako identitu zahrnující pouze bezrozměrné kombinace (poměry nebo součiny) proměnných propojených zákonem (například tlak a objem jsou spojeny Boyleovým-Mariottovým zákonem - jsou nepřímo úměrné).
Tvrzení
Pokud máme rovnici vyjadřující fyzikální zákon ve tvaruf(q_1,q_2,\ldots,q_n)=0,kde q_1, \ldots, q_n je n nezávislých fyzikálních veličin, které jsou vyjádřeny v k nezávislých fyzikálních jednotkách, pak lze výše uvedenou rovnici přepsat do tvaruF(\pi_1,\pi_2,\ldots,\pi_p)=0,kde \pi_1, \ldots, \pi_p jsou pro p = n - k bezrozměrné parametry konstruované z veličin q_i vztahem\pi_i=q_1^{a_1}\,q_2^{a_2} \cdots q_n^{a_n},kde exponenty a_i jsou racionální čísla.
Význam
Buckinghamův \pi teorém poskytuje metodu pro výpočet souborů bezrozměrných parametrů z daných proměnných, i když tvar rovnice není znám. Volba bezrozměrných parametrů není jednoznačná. +more Buckinghamův teorém poskytuje pouze metodu hledání bezrozměrných parametrů a nedokáže odlišit "fyzikálně smysluplné" sady bezrozměrných parametrů od ostatních.
Buckingramův \pi teorém je silný nástroj zejména v případě, že hodnoty n a k jsou srovnatelné.
Matematické kyvadlo
Chceme určit periodu T malých kmitů matematického kyvadla o délce L, hmotnosti M hmotného bodu na konci kyvadla a gravitačního zrychlení g. První tři veličiny mají nezávislé jednotky, gravitační zrychlení má jednotku složenou z jednotky délky a jednotky času. +more Souvislost veličin je tvaruf(T,M,L,g) = 0. Protože se počet jednotek a veličin liší o jedničku, je možné tuto zákonitost zapsat použitím jediného bezrozměrného parametru \pi ve tvaruF(\pi) = 0,kde \pi dáno vztahem\pi = T^{a_1}M^{a_2}L^{a_3}g^{a_4}pro vhodné hodnoty a_1, a_2, a_3, a_4. Jednotka hmotnosti se vzorci vyskytuje jenom jednou ve veličině M a proto musí být a_2=0. Jednotka délky je v první mocnině ve veličinách L a g a aby veličina \pi nezávisela na jednotce délky, musí se jednotka délky vykrátit, tj. a_3+a_4=0. Jednotka času je v první mocnině v periodě T a v minus druhé mocnině ve zrychlení g. Aby veličina \pi nezávisela na jednotce času, musí se jednotka času vykrátit, tj. a_1-2a_4=0. Z toho vyplývá, že bezrozměrnou konstantu lze po volbě a_4=1 zapsat ve tvaru\begin{align} \pi &= T^2M^0L^{-1}g^1\\ &= gT^2/L \end{align}. (V méně triviálním případě je nutno řešit maticově soustavu lineárních rovnic. ) Model lze nyní vyjádřit rovnicíF\left(gT^2/L\right) = 0. Za předpokladu že F má izolované kořeny C_1, C_2, \ldots, to znamená, že gT^2/L = C_i pro nějaký kořen C_i funkce F. Pokud je pouze jeden nulový bod, C, platí gT^2/L = C a T=\sqrt{\frac{CL}{g}}. Hodnotu konstanty C nelze rozměrovou analýzou určit, stačí však jedno měření periody, které správnou hodnotu konstanty učí. V tomto případě je C = 4\pi^2, což dává známý vzorec T=2\pi\sqrt{\frac Lg}.