Buffonova jehla

Technology

12 hours ago

Author

Jehla a kříží linku, jehla b nekříží linku Buffonova jehla je slavná matematická úloha, kterou v roce 1777 vymyslel francouzský matematik Georges Louis Leclerc de Buffon.

Úloha zní takto: :Na podlaze je velký list papíru, který je rozdělený rovnoběžnými linkami. Vzdálenost mezi všemi linkami je stejná. +more Na tento papír se libovolným způsobem hází jehla, jejíž délka je rovna vzdálenosti mezi linkami. Jaká je pravděpodobnost, že jehla po dopadu bude ležet tak, že protne některou z linek (viz obrázek).

Hodnota této pravděpodobnosti je \frac{2}{\pi}. Pomocí takového experimentu je tedy možné zjistit přibližnou hodnotu π: hod jehlou se bude mnohokrát opakovat a bude se zapisovat, v jakém poměru z celkového počtu hodů jehla protne linku. +more Tento výpočet je příkladem užití metody Monte Carlo.

Výpočet

Mějme jehlu o délce \ell a hoďme ji na rovinu rozdělenou s rovnoběžnými linkami t, přičemž t \ge \ell (jehla je menší než vzdálenosti mezi linkami). Jaká je pravděpodobnost, že jehla protne linku?

Nechť je x vzdálenost od středu jehly k nejbližší lince a nechť \theta je velikost ostrého úhlu, který svírá jehla a linka.

Hustota pravděpodobnosti náhodné proměnné x je pro x \isin \langle 0; \frac{t}{2} \rangle rovna :\frac{2}{t}\,dx.

Hustota pravděpodobnosti \theta je pro \theta \isin \langle 0; \frac{\pi}{2} \rangle rovna :\frac{2}{\pi}\,d\theta.

Tyto dvě náhodné proměnné jsou navzájem nezávislé, proto složená hustota pravděpodobnosti je rovna součinu dílčích hustot: :\frac{4}{t\pi}\,dx\,d\theta.

Jehla protne linku tehdy, pokud :x \le \frac{\ell}{2}\sin\theta.

Integrováním složené hustoty pravděpodobnosti dostaneme pravděpodobnost, že jehla linku protne: :\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{x=0}^{\frac{\ell}{2}\sin\theta} \frac{4}{t\pi}\,dx\,d\theta = \frac{2\ell}{t\pi}.

Pokud při n hodech jehla protla linku v h případech, můžeme psát odhad :\frac{h}{n} = \frac{2\ell}{t\pi},

ze kterého lze \pi vyjádřit takto: :\pi = \frac{2{\ell}n}{th}.

Pokud bychom na počátku zvolili jehlu delší než je vzdálenost mezi linkami (t ), byl by výsledný vzorec ve tvaru :\frac{h}{n} = \frac{2\ell}{t\pi} - \frac{2}{t\pi}\left(\sqrt{\ell^2 - t^2} - \arcsec \frac{\ell}{t} \right)+1.