Burgersova rovnice

Burgersova rovnice je jednou ze základních parciálních diferenciálních rovnic mechaniky tekutin. Objevuje se v mnoha partiích aplikované matematiky, jako je například dynamika plynů a modelování dopravního toku. Rovnice je pojmenována po J. M. Burgersovi (1895-1981). Je ekvivalentní Navierově-Stokesově rovnici pro nestlačitelný tok bez tlakového členu.

Pro danou rychlost u and koeficient vazkosti \nu je obecný tvar jednorozměrné Burgersovy rovnice (rovněž známé pod pojmem vazká Burgesova rovnice) tvaru:

:\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.

Je-li \nu = 0, Burgersova rovnice se stává nevazkou Burgersovou rovnicí:

:\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = 0,

což je jeden z typů rovnic, v jejichž řešení se mohou vyskytnout nespojitosti (rázové vlny). Předešlá rovnice je advekční formou Burgersovy rovnice. +more Konzervativní forma je tvaru:.

:\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x}\big(u^2\big) = 0.

Řešení

Nevazká Burgersova rovnice

Nevazká Burgersova rovnice je parciální diferenciální rovnicí prvního řádu. Její řešení může být zkonstruováno pomocí metody charakteristik. +more Tato metoda říká, že pokud je X(t) řešením obyčejné diferenciální rovnice.

:\frac{\mathrm{d}X(t)}{\mathrm{d}t} = u[X(t),t],

pak :U(t) := u[X(t),t]

je konstantní vzhledem k t. Tudíž [X(t),U(t)] je řešením soustavy obyčených diferenciálních rovnic:

:\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}=U,

:\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}=0.

Řešení této soustavy je vyjádřeno pomocí počáteční hodnoty výrazem:

:\displaystyle X(t)=X(0)+tU(0),

:\displaystyle U(t)=U(0).

Při substituci X(0)= \eta, kdy platí U(0)=u[X(0),0]=u(\eta,0), můžeme zapsat soustavu ve tvaru

:\displaystyle X(t)=\eta+tu(\eta,0)

:\displaystyle U(t)=U(0).

Celkově:

:\displaystyle u(\eta,0)=U(0)=U(t)=u[X(t),t]=u[\eta+tu(\eta,0),t].

Toto je implicitní vztah určující řešení nevazké Burgesovy rovnice za předpokladu, že se jednotlivé charakteristiky vzájemně neprotínají. Pokud k průniku charakteristik dojde, pak neexistuje klasické řešení rovnice.

Vazká Burgersova rovnice

Vazká Burgersova rovnice může být linearizována Coleovou-Hopfovou transformací

:u=-2\nu \frac{1}{\phi}\frac{\partial\phi}{\partial x},

z čehož dostáváme rovnici tvaru

: \frac{\partial}{\partial x} \Bigl( \frac{1}{\phi}\frac{\partial\phi}{\partial t}\Bigr) = \nu \frac{\partial}{\partial x} \Bigl( \frac{1}{\phi}\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}\Bigr),

která může být přepsána jako

: \frac{\partial\phi}{\partial t} = \nu\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + f(t) \phi,

kde f(t) je libovolná funkce. Pokud poslední člen vymizí, obdržíme difuzní rovnici

:\frac{\partial\phi}{\partial t}=\nu\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}.

Můžeme tedy řešit počáteční úlohu:

:u(x,t)=-2\nu\frac{\partial}{\partial x}\ln\Bigl\{(4\pi\nu t)^{-1/2}\int_{-\infty}^\infty\exp\Bigl[-\frac{(x-x')^2}{4\nu t} -\frac{1}{2\nu}\int_0^{x'}u(x,0)\mathrm{d}x\Bigr]\mathrm{d}x'\Bigr\}.

Reference

Externí odkazy

[url=http://eqworld. ipmnet. +moreru/en/solutions/npde/npde1301. pdf]Burgers' Equation[/url] at EqWorld: The World of Mathematical Equations. * [url=http://www. primat. mephi. ru/wiki/ow. asp. Burgers%27_equation]Burgers' Equation[/url] at NEQwiki, the nonlinear equations encyclopedia. * Burgers shock-waves and sound in a 2D microfluidic droplets ensemble [url=https://web. archive. org/web/20121006095032/http://www. weizmann. ac. il/complex/tlusty/papers/PhysRevLett2009. pdf]Phys. Rev. Lett. 103, 114502 (2009)[/url].

Kategorie:Parciální diferenciální rovnice