Cantorova funkce

Cantorova funkce je příkladem funkce, která je spojitá (dokonce i stejnoměrně spojitá), ale není absolutně spojitá. Je pojmenována po Georgi Cantorovi.

Definice

Cantorovu funkci c : [0;1] → [0;1] zavedeme pomocí následujícího postupu: # Číslo x zapíšeme v trojkové soustavě, pokud je to možné, vyhneme se zápisu, který obsahuje jedničky. (Rozdíl se projeví v případě, že rozvoj čísla končí na 022222. +more = 100000. nebo 200000. = 122222. ) # První jedničku nahradíme dvojkou a vše za ní nulou. Pokud se v zápisu čísla žádná jednička nevyskytuje, tento krok přeskočíme. # Všechny dvojky nahradíme jedničkami. # Výsledek interpretujeme jako číslo v binární soustavě. Toto je c(x).

Příklad: * 1/4 zapíšeme v trojkové soustavě jako 0,02020202. ; nejsou zde žádné jedničky k nahrazení, takže můžeme rovnou přepsat dle dalšího kroku na 0,01010101. +more; toto (přečteno jako číslo dvojkové soustavy) se rovná 1/3. c(1/4) = 1/3. * 1/5 zapíšeme jako 0,01210121. ; první jedničku zaměníme za dvojku a vše za ní přepíšeme nulami, získáme číslo 0. 02000000. ; dále přepíšeme na 0,01000000. ; přečteme jako 1/4. c(1/5) = 1/4.

(Na obrázku je vidět výsledná funkce) Cantorova funkce

Vlastnosti

Cantorova funkce je spojitá na celém intervalu [0;1] * zobrazuje interval [0;1] na interval [0;1] * má derivaci rovnou 0 skoro všude * je spojitá, dokonce stejnoměrně spojitá, ale není absolutně spojitá * nemá derivaci v žádném bodě Cantorova diskontinua * je konstantní na intervalech tvaru (0,x1x2x3. xn022222. +more; 0,x1x2x3. xn200000. ), každý bod, jenž nenáleží Cantorovu diskontinuu, leží v jednom z těchto intervalů, takže jeho derivace je rovna 0.

Jiná definice

Sekvenční Cantorova funkce

Definujme posloupnost funkcí fn na intervalu [0;1] takto: * f0(x) = x * definujme fn+1(x) rekurentně pomocí fn(x) ** fn+1(x) = 0,5 fn(3x) pokud 0 ≤ x ≤ 1/3. ** fn+1(x) = 0,5 pokud 1/3 ≤ x ≤ 2/3. +more ** fn+1(x) = 0,5 + 0. 5 fn(3 (x − 2/3)) pokud 2/3 ≤ x ≤ 1. Takto definovaná posloupnost funkcí konverguje k Cantorově funkci. Povšimněme si, že na volbě počáteční funkce nezáleží, pokud bude omezená a bude splňovat: f0(0) = 0 a f0(1) = 1.

Související články

Cantorovo diskontinuum * Georg Cantor

Externí odkazy

[url=http://demonstrations.wolfram.com/CantorFunction/]Cantor Function[/url] by Douglas Rivers, The Wolfram Demonstrations Project. *

Kategorie:Matematické funkce