Cayleyho–Hamiltonova věta

Ukázky

Matice řádu 1

Charakteristický polynom matice \boldsymbol{A}=(a) je p_{\boldsymbol A}(\lambda) = \lambda - a, a proto p_{\boldsymbol A}(\boldsymbol{A}) = (a) - a(1) = 0.

Matice řádu 2

Konkrétní matice \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} má charakteristický polynom: : p_\boldsymbol{A}(\lambda) = \det(\lambda \mathbf{I}_2-\boldsymbol{A}) = \det\! \begin{pmatrix} \lambda-1 & -2 \\ -3 & \lambda-4 \end{pmatrix} = (\lambda-1)(\lambda-4)-(-2)(-3) = \lambda^2-5\lambda-2

Cayleyho-Hamiltonova věta uvádí, že pro maticový polynom definovaný p_{\boldsymbol{A}}(\boldsymbol{X}) = \boldsymbol{X}^2 - 5\boldsymbol{X} - 2\mathbf{I}_2 platí: p_{\boldsymbol{A}}(\boldsymbol{A}) = \boldsymbol{0} , což lze potvrdit následujícím výpočtem:

:p_{\boldsymbol{A}}(\boldsymbol{A}) = \boldsymbol{A}^2-5\boldsymbol{A}-2\mathbf{I}_2 = \begin{pmatrix}7&10\\15&22\\\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5&10\\15&20\\\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2&0\\0&2\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}.

Obecná matice \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}, má charakteristický polynom p_{\boldsymbol{A}}(\lambda) = \lambda^{2} - (a + d)\lambda + (ad - bc). Platnost Cayleyho−Hamiltonovy věty lze v tomto případě ověřit přímo:

:\begin{align} p_{\boldsymbol{A}}(\boldsymbol{A})&= \boldsymbol{A}^2-(a+d)\boldsymbol{A}+(ad-bc)\mathbf{I}_2 \\[1ex] &= \begin{pmatrix}a^2+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+d^2\\\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}a(a+d)&b(a+d)\\c(a+d)&d(a+d) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix}\\[1ex] &= \begin{pmatrix}0&0\\0&0 \end{pmatrix} \end{align}

Aplikace

Mocniny matice

Cayleyho−Hamiltonova věta poskytuje vztah mezi mocninami \boldsymbol{A} (ačkoli ne vždy ten nejjednodušší), což umožňuje zjednodušit výrazy obsahující vyšší mocniny a vyhodnotit je, aniž by bylo nutné počítat \boldsymbol{A}^n nebo jakoukoli vyšší mocninu \boldsymbol{A}.

Například pro \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} platí podle věty \boldsymbol{A}^2=5\boldsymbol{A}+2\mathbf{I}_2. Pro výpočet \boldsymbol{A}^{4} lze v důsledku věty využít vztahy: :\begin{align} \boldsymbol{A}^3&=(5\boldsymbol{A}+2\mathbf{I}_2)\boldsymbol{A}=5\boldsymbol{A}^2+2\boldsymbol{A}=5(5\boldsymbol{A}+2\mathbf{I}_2)+2\boldsymbol{A}=27\boldsymbol{A}+10\mathbf{I}_2 \\[1ex] \boldsymbol{A}^4&=\boldsymbol{A}^3\boldsymbol{A}=(27\boldsymbol{A}+10\mathbf{I}_2)\boldsymbol{A}=27\boldsymbol{A}^2+10\boldsymbol{A}=27(5\boldsymbol{A}+2\mathbf{I}_2)+10\boldsymbol{A}=145\boldsymbol{A}+54\mathbf{I}_2 \end{align}

Podobně lze počítat i inverzní matici a její mocniny:

:\begin{align} \boldsymbol{A}^{-1} &= \frac{1}{2}\left(\boldsymbol{A}-5\mathbf{I}_2\right)\\[1ex] \boldsymbol{A}^{-2} &= \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1} = \frac{1}{4} \left(\boldsymbol{A}^2-10\boldsymbol{A}+25\mathbf{I}_2\right) = \frac{1}{4} \left((5\boldsymbol{A}+2\mathbf{I}_2)-10\boldsymbol{A}+25\mathbf{I}_2\right) = \frac{1}{4} \left(-5\boldsymbol{A}+27\mathbf{I}_2\right) \end{align}

Ve všech uvedených případech bylo možné zapsat mocninu matice jako součet dvou členů. Ve skutečnosti lze libovolnou mocninu čtvercové matice řádu n zapsat jako maticový polynom stupně nejvýše n-1. +more Jinými slovy, dimenze prostoru generovaného mocninami čtvercové matice je shora omezena jejím řádem.

Maticové funkce

Je-li dána analytická funkce f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k a matice \boldsymbol{A} řádu n s charakteristickým polynomem p_{\boldsymbol{A}}(x), a pokud lze funkci f(x) = q(x) p_{\boldsymbol A}x) + r(x) vyjádřit pomocí dlouhého dělení jako f(x) = q(x) p_{\boldsymbol{A}}(x) + r(x), kde q(x) je podílový polynom a r(x) je zbytkový polynom takový stupně nejvýše n-1, potom podle Cayleyho−Hamiltonovy věty, nahrazení x maticí \boldsymbol{A} dává p_{\boldsymbol{A}}(\boldsymbol{A}) = \boldsymbol{0}, takže v důsledku platí: f(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A}). Maticovou analytickou funkci \boldsymbol{A} lze za uvedených předpokladů tudíž vyjádřit jako maticový polynom stupně nejvýše n-1.

Algebraická teorie čísel

Cayleyho−Hamiltonova věta je efektivním nástrojem pro výpočet minimálního polynomu algebraických čísel. Například pro konečné rozšíření \mathbb{Q}[\alpha_1,\ldots,\alpha_k] tělesa \mathbb{Q} a algebraické číslo \alpha \in \mathbb{Q}[\alpha_1,\ldots,\alpha_k], což je nenulová lineární kombinace \alpha_1^{n_1}\cdots\alpha_k^{n_k}, lze spočítat minimální polynom \alpha pomocí matice \boldsymbol{A} reprezentující lineární zobrazení na \mathbb{Q} dané předpisem:

:\cdot \alpha : \mathbb{Q}[\alpha_1,\ldots,\alpha_k] \to \mathbb{Q}[\alpha_1,\ldots,\alpha_k]

Minimální polynom lze odvodit použitím Cayleyho−Hamiltonovy věty pro matici \boldsymbol{A}.

Důkaz

Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917), německý matematik. +more Jeho hlavní zájmy byly eliptické funkce, diferenciální rovnice a později teorie grup. .

Vlastní ověření platnosti Cayleyho−Hamiltonovy věty pro konkrétní matici \boldsymbol A řádu n vyžaduje dva kroky: Nejprve je třeba určit koeficienty c_{i} charakteristického polynomu v proměnné t coby rozvoj determinantu: :\begin{align} p_{\boldsymbol{A}}(t) & = \det(t \mathbf{I}_n - \boldsymbol{A}) = \begin{vmatrix}t-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n} \\ -a_{21}&t-a_{22}&\cdots&-a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1}&-a_{n2}& \cdots& t-a_{nn} \end{vmatrix} \\[5pt] & = t^n+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots+c_1t+c_0, \end{align}

Poté se tyto koeficienty použijí v lineární kombinaci mocnin matice \boldsymbol{A} a ukáže se, že tato lineární kombinace je rovna nulové matici:

:\boldsymbol{A}^n+c_{n-1}\boldsymbol{A}^{n-1} + \cdots + c_1 \boldsymbol{A} + c_0 \mathbf{I}_n = \boldsymbol{0}.

Levou stranu této rovnosti lze vyjádřit jako matici řádu n, jejíž prvky jsou složité mnohočleny z prvků a_{ij} dané matice \boldsymbol{A}. Cayleyho−Hamiltonova věta tvrdí, že každý z těchto n^{2} výrazů je roven 0. +more Pro každou pevnou hodnotu n lze tyto identity získat zdlouhavými, ale přímočarými algebraickými úpravami, jak bylo například předvedeno výše pro matice řádu 2. Tyto výpočty však nemohou ukázat, proč by Cayleyho−Hamiltonova věta měla platit pro matice libovolných řádů n, a proto je zapotřebí odvodit jednotný obecný důkaz pro všechna možná n.

Adjungovaná matice

Obecné důkazy často využívají matici adjungovanou \operatorname{adj}(\boldsymbol{M}) k matici \boldsymbol{M} a její vlastnost:

: \boldsymbol{M}\cdot\operatorname{adj}(\boldsymbol{M}) =\det(\boldsymbol{M})\cdot\mathbf{I}_n

Uvedené vztahy vyplývají z úprav algebraických výrazů a platí pro matice s prvky i z libovolného komutativního okruhu. Jmenovitě platí nejen pro číselné matice, ale i pro matice, jejíž prvky tvoří polynomy, a právě tato vlastnost bude v důkazu využita.

Maticové polynomy

Determinant matice t\mathbf{I}_{n} -\boldsymbol{A} je charakteristický polynom matice \boldsymbol{A}. Matice \boldsymbol{B} daná výrazem:

:\boldsymbol{B}:=\operatorname{adj}(t\mathbf{I}_n-\boldsymbol{A})

má za prvky polynomy v proměnné t. Protože polynomy tvoří komutativní okruh, lze dosazením t\mathbf{I}_{n} -\boldsymbol{A} za \boldsymbol{M} do výše uvedeného vztahu pro adjungovanou matici odvodit rovnost:

:(t \mathbf{I}_n - \boldsymbol{A})\boldsymbol{B} = \det(t \mathbf{I}_n - \boldsymbol{A}) \mathbf{I}_n = p_{\boldsymbol A}(t) \mathbf{I}_n

Polynomy, které se vyskytují jako prvky matice \boldsymbol{B} lze rozložit na monomy a jejich koeficienty roztřídit do již číselných matic \boldsymbol{B}_0,\boldsymbol{B}_1,\dots,\boldsymbol{B}_{n-1} tak, že matice \boldsymbol{B}_i obsahuje koeficienty u t^i. Takto zvolené matice splňují:

:\boldsymbol{B} = \sum_{i = 0}^{n-1} t^i \boldsymbol{B}_i

Levou strana rovnosti lze algebraicky upravit na následující maticový mnohočlen v proměnné t:

:\begin{align} (t \mathbf{I}_n - \boldsymbol{A})\boldsymbol{B} &=(t \mathbf{I}_n - \boldsymbol{A})\sum_{i = 0}^{n - 1} t^i \boldsymbol{B}_i \\ &=\sum_{i = 0}^{n - 1} t\mathbf{I}_n\cdot t^i \boldsymbol{B}_i - \sum_{i = 0}^{n - 1} \boldsymbol{A}\cdot t^i \boldsymbol{B}_i \\ &=\sum_{i = 0}^{n - 1} t^{i + 1} \boldsymbol{B}_i- \sum_{i = 0}^{n - 1} t^i \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}_i \\ &=t^n \boldsymbol{B}_{n - 1} + \sum_{i = 1}^{n - 1} t^i(\boldsymbol{B}_{i - 1} - \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}_i) - \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}_0 \end{align}

Podobně pravá strana dává maticový polynom:

:p_{\boldsymbol A}(t)\mathbf{I}_n=t^n\mathbf{I}_n+t^{n-1}c_{n-1}\mathbf{I}_n+\cdots+tc_1\mathbf{I}_n+c_0\mathbf{I}_n

Rovnost obou stran platí, právě když se shodují všechny dvojice polynomů na stejných pozicích v maticích na obou stranách. Tudíž se na obou stranách musejí shodovat i matice u libovolné mocniny t^{i}. +more Jednotlivým mocninám i od n do 0, odpovídají rovnosti:.

:\boldsymbol{B}_{n - 1} = \mathbf{I}_n, \qquad \boldsymbol{B}_{i - 1} - \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}_i = c_i \mathbf{I}_n\quad \text{pro }1 \leq i \leq n-1, \qquad -\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}_0 = c_0 \mathbf{I}_n

Vynásobení těchto rovností zleva příslušnou mocninou matice \boldsymbol{A} (čili první je vynásobena zleva \boldsymbol{A}^n a podobně ostatní rovnosti odpovídající t^{i} jsou zleva vynásobeny \boldsymbol{A}^{i}) a sečtení všech těchto rovnic do jedné dává:

:\boldsymbol{A}^n \boldsymbol{B}_{n-1} + \sum\limits_{i=1}^{n-1}\left( \boldsymbol{A}^i \boldsymbol{B}_{i-1} - \boldsymbol{A}^{i+1}\boldsymbol{B}_i\right) -\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}_0 = \boldsymbol{A}^n+c_{n-1} \boldsymbol{A}^{n-1} + \cdots + c_1\boldsymbol{A} + c_0\mathbf{I}_n

Po rozepsání součtu se po sobě jdoucí dvojice členů na levé straně se navzájem odečtou, zatímco pravá strana odpovídá dosazení matice \boldsymbol{A} do svého charakteristického mnohočlenu p_\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}). Z uvedeného vyplývá vztah: \boldsymbol{0}=p_\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}) čímž je důkaz Cayleyho-Hamiltonovy věty dokončen.

Ukázka

Matice \boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 3 \\ 1 & -2 & 2 \\ \end{pmatrix} má charakteristický mnohočlen p_\boldsymbol{A}(t) = t^3-2t^2-t+2 , a proto platí i maticová rovnost:

:p_{\boldsymbol A}(t)\mathbf{I}_3=t^3\mathbf{I}_3-2t^2\mathbf{I}_3-t\mathbf{I}_3+2\mathbf{I}_3

Adjungovaná matice k matici t\mathbf{I}_{n} -\boldsymbol{A} je následující polynomiální matice \boldsymbol{B}. Ta je dále rozložena na tři matice koeficientů:

: \begin{align} \boldsymbol{B} &=\operatorname{adj}(t\mathbf{I}_3-\boldsymbol{A}) =\operatorname{adj} \left( \begin{pmatrix} t-1 & -2 & 0 \\ -3 & t+1& -3 \\ -1 & 2 & t-2 \\ \end{pmatrix} \right) \\ &= \begin{pmatrix} t^2-t+4 & 2t-4 & 6 \\ 3t-3 & t^2-3t+2& 3t-3 \\ t-5 & -2t+4 & t^2-7 \\ \end{pmatrix} \\ & = t^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -3& 3 \\ 1 & -2 & 0 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & -4 & 6 \\ -3 & 2 & -3 \\ -5 & 4 & -7 \\ \end{pmatrix} \\ &=t^2\boldsymbol{B}_2+t\boldsymbol{B}_1+\boldsymbol{B}_0 \end{align}

Z vlastností adjungované matice vyplývá, že tyto tři matice koeficientů splňují:

: (t \mathbf{I}_3 - \boldsymbol{A})\boldsymbol{B} = t^3 \boldsymbol{B}_2 + t^2(\boldsymbol{B}_1-\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}_2) + t(\boldsymbol{B}_0 - \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}_1) - \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}_0

Protože (t \mathbf{I}_n - \boldsymbol{A})\boldsymbol{B} = p_{\boldsymbol A}(t) \mathbf{I}_n, musí platit také:

:\boldsymbol{B}_2 = \mathbf{I}_3, \qquad \boldsymbol{B}_1-\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}_2= -2\mathbf{I}_3, \qquad \boldsymbol{B}_0-\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}_1= -\mathbf{I}_3, \qquad -\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}_0 = 2 \mathbf{I}_3

Vynásobení těchto rovností příslušnými mocninami matice \boldsymbol{A} zleva a celkové sečtení dává kýžený vztah:

:\boldsymbol{A}^3\boldsymbol{B}_2 + \boldsymbol{A}^2(\boldsymbol{B}_1-\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}_2)+ \boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}_0-\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}_1) - \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}_0 = \boldsymbol{0} =\boldsymbol{A}^3-2\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}+2\mathbf{I}_3

Historie

Hamilton dokázal speciální případ věty v roce 1853 v termínech inverzí lineárních funkcí kvaternionů, což odpovídá speciálnímu případu reálných matic řádu, resp. komplexních matic řádu 2. +more Cayley v roce 1858 uvedl výsledek pro matice řádu nejvýše 3, ale důkaz publikoval pouze pro řád 2. Pokud jde o matice řádu n Cayley uvedl: ". , nepovažoval jsem za nutné pustit se do práce s formálním důkazem věty v obecném případě matice libovolného stupně". Obecný případ poprvé dokázal Ferdinand Frobenius v roce 1878.

Odkazy

Poznámky

Reference

Literatura

Související články

Adjungovaná matice * Vlastní vektory a vlastní čísla

Kategorie:Matematické věty a důkazy Kategorie:Teorie matic