Chézyho rychlostní součinitel

Chézyho rychlostní součinitel je jedním z členů Chézyho rovnice, která dovoluje výpočet střední průřezové rychlosti, resp. s aplikací rovnice kontinuity výpočet průtoku v potrubí a zejména v otevřených korytech. V počátcích hydrauliky jako vědního oboru býval udáván číselnou hodnotou, která se ale podle různých výzkumníků i značně lišila. Během doby bylo odvozeno několik desítek vztahů založených na různých základech (viz). V zásadě můžeme rozlišit následující hlavní skupiny těchto vztahů: * součinitele mocninné * součinitele logaritmické * ostatní Rozměr Chézyho rychlostního součinitele vyplývá z Chézyho rovnice a je [m0,5s−1], tedy rozměr odmocniny ze zrychlení.

Součinitele exponenciální

Tyto vzorce mají standardní tvar

C=\frac 1 {n} {R^y}

kde R=S/O , R je hydraulický poloměr [m], S průtočná plocha [m2] a O omočený obvod [m]. Exponent y může být konstantou či funkcí určitých proměnných. +more Součinitel n je tzv. součinitel drsnosti (v angloamerické literatuře též často nazýván Manningův součinitel drsnosti), vyjadřující hydraulické odpory koryta.

Typickým představitelem je Chézyho součinitel podle Manninga, kde y=1/6 . Podrobné pojednání o vzniku Manningovy rovnice (viz). +more Další výzkumníci došli k hodnotám y=1/5 (Forchheimer) a y=1/4 (Lacey).

Sovětský akademik Pavlovskij odvodil ve 30. letech 20. stol. svůj v Sovětském svazu i u nás velmi rozšířený vztah

y=2,5\surd n -0,13-0,75\surd R (\surd n -0,10)

Literatura uvádí dvě možná zjednodušení tohoto poměrně složitého vztahu, která navrhl jeho autor, a to jednak z hlediska hydraulického poloměru (viz např.):

y=1,5\surd n pro R \leqq 1 m

y=1,3\surd n pro R > 1 m

jednak z hlediska velikosti součinitele drsnosti n (viz):

y=1/6 pro 0,010 \leqq n

y=1/5 pro 0,015 \leqq n

y=1/4 pro n \geqq 0,025 ,

Se zvyšujícím se součinitelem drsnosti vlastně rychlostní součinitel podle Manninga přechází v součinitel podle Forchheimera a posléze podle Laceye.

Libý na základě vlastních experimentů doporučuje další možné zjednodušení Pavlovského vzorce pro vyšší drsnosti:

y=1,6\sqrt n pro n \geqq 0,025 .

Pavlovského vzorec je sovětskou i starší tuzemskou literaturou považován za nejpřesnější. Pavlovskij udává jeho platnost v mezích R \in \langle 0,1;3 \rangle [m] a n \in \langle 0,011;0,040 \rangle , avšak obecně se udává, že platí v mezích podstatně širších (které ale zřejmě nejsou v žádné literatuře specifikovány).

Sribný (viz) udává vztah mezi exponentem y a součinitelem drsnosti tabelárně:

n		0,013	0,018	0,025	0,040	0,080	0,200
y	1/8	1/7	1/6	1/5	1/4	1/3	1/2

Mattas tuto tabulku aproximoval rovnicí

y=1,072n^{0,462} .

Chen Uvedl do vztahu hodnotu exponentu y a relativní absolutní drsnosti R/k kde R [m] je hydraulický poloměr a k [m] je absolutní drsnost koryta. Ve své práci uvádí tabulku závislosti y=f(R/k) , kde udává i rozmezí relativní absolutní drsnosti, v níž daný exponent platí. +more Překryv udávaných rozmezí relativní absolutní drsnosti je však tak velký, že lze volit téměř libovolnou hodnotu exponentu:

y	1/6	1/5	1/4	1/3	1/2	2/3	1
min R/k	3,34	0,983	0,278	0,069	0,007	0,003	0,0
max R/k	316,0	132,0	56,3	21,0	7,9	3,2	1,1

.

Z provedené analýzy (viz) vyplývá, že pro větší hydraulické poloměry (ca R > 0,5 [m]) jsou rozdíly mezi jednotlivými výše uvedenými vztahy relativně přijatelné, poněkud vybočuje vztah Manningův, který rychlostní součinitel poněkud podhodnocuje. Pro malé hydraulické poloměry je rozptyl výsledků větší a se zmenšováním hydraulického poloměru se zvětšuje.

Součinitele logaritmické

Logaritmický tvar Chézyho rychlostního součinitele je považován za nejsprávnější a je teoreticky nejlépe podložen. Z Prandtl-Kármánova zákona rozdělení rychlosti lze odvodit výraz pro součinitel ztráty třením v obecném tvaru Colebrook-Whiteovy rovnice:

{1 \over {\sqrt \lambda}} = c \log {aR \over k_s}

kde \lambda je součinitel ztráty třením, c je konstanta, c=2,03 je převod z přirozeného logaritmu na dekadický, většina autorů zaokrouhluje na 2,00, R [m] je hydraulický poloměr a k_s [m] absolutní, resp. ekvivalentní písková drsnost, která se obvykle nahrazuje některým charakteristickým zrnem (např. +more d_{ef}, d_{50}, d_{84}) substrátu dna. V některých případech je hydraulický poloměr nahrazen střední hloubkou. Protože platí jednoduchý vztah.

\sqrt {8 \over \lambda} = {C \over \sqrt g},

lze Colebrook-Whiteovu rovnici snadno převést na výraz pro určení Chézyho rychlostního součinitele (viz např.):

C = 4\sqrt {2g}\log {{aR}\over k_s} = 4\sqrt {2g}\biggl(\log R + \log{a \over k_s}\biggr)= 4\sqrt {2g}\biggl(\log{R\over k_s} + \log a \biggr)

U nás býval doporučován výraz, odvozený Agroskinem na základě výsledků experimentů Zegždy, ve tvaru:

C=4\sqrt{2g}(\log R + k_a)

kde k_a je tzv. součinitel hladkosti,

k_a=\log {{2A} \over \Delta}

kde A je konstanta a \Delta velikost výstupků stěny. Agroskin však místo použití parametru \Delta vyšel z mocninných vztahů pro Chézyho rychlostní součinitel, z nichž odvodil vztah

k_a ={{0,05643} \over n}

kde n je součinitel drsnosti, čímž však popřel výhodnost svého jinak teoreticky dobře podloženého vzorce.

Bretting odvodil podobný vztah

C=4\sqrt {2g}\biggl(\log {R \over d} + A' \biggr)

kde d je efektivní zrno (též střední) a konstanta A'=1,171 . Obdobný vztah odvodil na základě řady měření na našich vodních tocích Martinec (tzv. +more "vzorec VÚV") s hodnotou A'= 0,77 pro d=d_{50} . S ohledem na značně problematický způsob určení padesátiprocentního kvantilu křivky zrnitosti (v některých případech Martinec uvádí jako způsob určení dokonce i jen odborný odhad) který zrnitosti evidentně podhodnocoval, tento vzorec ve srovnání s ostatními značně vybočuje, a dává podstatně vyšší hodnoty Chézyho rychlostního součinitele (viz). Mattas určil na základě souboru více než 600 měření (vlastních i v literatuře publikovaných) na tocích vyšších gradientů s hrubozrnným substrátem A'=0,41 pro d=d_{50} , resp. A'=0,72 pro d=d_{84} .

Pro hrubozrnný materiál dna např. udávají Leopold, Wollman a Miller (citace viz)

C=2,03 \centerdot 2 \sqrt {2g} \log{{3,11h}\over{d_{84}}}

kde h je střední hloubka vody. Limerinos (ibid) odvodil konstantu a=1,49 pro d=d_{50}, resp. a=3,72 pro d=d_{84} a ve vzorci používá místo střední hloubky hydraulický radius R.

Za nejspolehlivější vztah logaritmického typu se považuje vzorec Heye

C=4 \sqrt {2g} \log {{a'R}\over {3,5d_{84}}}

kde parametr a' se určí z Bathurstova vztahu (ibid)

a'=11,1 \biggl( {R \over h_{max}}\biggr)

kde h_{max} je délka normály k omočenému obvodu, procházející místem maximální místní (bodové) rychlosti.

Součinitele ostatní

Ganguillet-Kutterův vztah

Jedním z prvních vztahů pro výpočet Chézyho rychlostního součinitele je vzorec Ganguilleta a Kuttera z r. 1869 (viz např.), běžně používaný ještě v 60. letech 20. století:

C={{23 + {{0,00155} \over i} + {1 \over n}} \over {1 + \Bigl( 23 + {{0,00155} \over i} \Bigr)}}

kde i je sklon hladiny a n součinitel drsnosti, který byl v tomto vzorci použit vůbec poprvé. Autoři též stanovili jeho hodnoty pro řadu případů (viz např. +more). Vzorec dává podle Chowa uspokojivé výsledky i přesto, že část dat použitá k jeho odvození byla chybná (měření Abbota a Humphreyse na Mississippi).

Stricklerův vzorec a jeho modifikace

Mezi první pokusy o zavedení charakteristického rozměru splaveninových zrn do výpočtu Chézyho rychlostního součinitele je vztah Stricklera (např.):

C={{a} \over {d^{1/6}}} R^{1/6}

Porovnáním s Manningovým vztahem pro rychlostní součinitel je evidentně

n={{1 \over a}d^{1/6}}

kde a je konstanta a d je charakteristické zrno. Vztah podle Brettinga (cit. v) platí v mezích 4,32 \leqq {R/d} \leqq 276.

Konstantu a udávají různí autoři různými hodnotami pro různou charakteristickou drsnost; původní hodnoty udané Stricklerem jsou a=21,1 pro pevné dno s homogenní pískovou drsností resp. a=24,4 pro d = d_{50}. +more Další hodnoty viz.

Mostkovův vzorec

Vzorec Mostkova se svým tvarem poněkud vymyká z řady. Byl odvozen pro hydraulicky drsná koryta přímo z Prandtlovy rovnice ve tvaru

C = 22 \log {R \over {\Delta}} + 9,5{{\Delta} \over R } + 1,5

kde \Delta [m] je tzv. "výška vlivu výstupků drsnosti". +more Je uvedena v tabelární formě pro různé typy povrchů a koryt, pro říční koryta lze použít tabulku závislosti \Delta na středním (efektivním) zrnu materiálu koryta:

dstř [mm]	3-5	30-75	50-90	140-180	180-210	250
Δ [mm]	10	25	50	100	150	200

.

Toky se zvýšenou drsností

Do této kategorie patří toky horské a podhorské, obvykle větších gradientů (ca i > 0,002 - 0,005) s hrubozrnným substrátem dna a často se vyskytujícími většími valouny až balvany. Tyto toky již často spadají do kategorie toků s makrodrsností (tzn. +more h/d_{50} , resp. h/d_{84} kde h [m] je střední hloubka toku).

Bathurst uvažuje rozmístění jednotlivých makrodrsnostních prvků, které při daném průtoku převyšují hladinu volně po ploše dna, a bere poměr plochy dna S_d [m2] k sumě ploch těchto prvků v určitém pásu kolem příčného profilu. Jako plochu makrodrsnostních prvků lze uvažovat buď jejich průměty do svislé roviny kolmé na směr proudění S_f [m2], nebo jejich půdorysy S_b [m2]. +more Z těchto parametrů vyjádříme buď tzv. frontální koncentraci \lambda_1 drsnostních prvků, nebo jejich základovou koncentraci \lambda_2:.

\lambda_1 = {\textstyle \sum \displaystyle S_f / S_d}, resp. \lambda_2 = {\textstyle \sum \displaystyle S_b / S_d}.

Protože tyto koncentrace korelují s relativní drsností, není nutné je určovat přímým měřením, ale lze je odhadnout ze vztahů udávaných Bathurstem jako

\lambda_1 = 0,139 \log {{1,91d_{84}}\over R}, resp. \lambda_2 = 0,360 \log {{1,52d_{84}}\over R}.

Chézyho součinitel pak lze určit z Bathurstem odvozených empirických vztahů, při použití frontální koncentrace

C = \sqrt g\Bigl( {R \over {0,365d_{84}}}\Bigr)^{2,34}\Bigl({b \over h}\Bigr)^{7(\lambda_1 - 0,08)},

resp. při použití základové koncentrace

C = \sqrt g\Bigl( {R \over {0,748d_{84}}}\Bigr)^{5,83}\Bigl({b \over h}\Bigr)^{7(\lambda_2 - 0,08)}.

Uvedené vztahy podle Bathursta platí pro d_{16} \in \langle {0,103;0,135} \rangle [m], d_{50} \in \langle {0,185;0,270} \rangle [m], d_{84} \in \langle {0,103;0,135} \rangle [m].

Reference

Kategorie:Hydraulika