Cramerovo pravidlo
Author
Albert FloresCramerovo pravidlo je matematické pravidlo, které umožňuje vypočítat hodnoty neznámých pomocí determinace soustavy lineárních rovnic. Bylo pojmenováno po švédském matematikovi Gabrielu Cramerovi, který ho poprvé publikoval v roce 1750. Pravidlo je založeno na maticovém zápisu soustavy rovnic a umožňuje vypočítat determinanty a součiny determinantů. Cramerovo pravidlo je velmi užitečné při řešení soustav rovnic s malým počtem neznámých, avšak může být pracné a náročné při použití ve složitějších případech.
Cramerovo pravidlo je algoritmus umožňující nalezení řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Roku 1750 ho uveřejnil Gabriel Cramer, už předtím však toto pravidlo nalezl Leibniz.
Postup
Mějme soustavu lineárních rovnic, která obsahuje stejně neznámých jako rovnic. Označme matici soustavy \mathbf{A} (je typu n \times n). +more Dále označme \mathbf{A}_i jako matici, kterou získáme z matice \mathbf{A}, nahradíme-li v ní i-tý sloupec sloupcem pravých stran soustavy rovnic.
Pokud zapíšeme matice soustavy a vektor pravých stran jako :\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}
:\mathbf{B} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} , pak má \mathbf{A}_i tvar :\mathbf{A}_i = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots & \cdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1}& \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}
Pokud je determinant matice soustavy nenulový, \det \mathbf{A} \neq 0, tzn. matice \mathbf{A} je regulární, pak má soustava právě jedno řešení, pro které platí :x_i = \frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}} pro i = 1, 2, . +more, n. Čísla x_1 až x_n spolu tvoří jedno řešení.
Příklad
Úkolem je řešit soustavu rovnic :x + y = 3 :x - 2 y = 1
Determinant matice soustavy je :\det \mathbf{A} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -3
Poněvadž je \det \mathbf{A} \neq 0, lze použít Cramerovo pravidlo.
Dále určíme :\det \mathbf{A}_1 = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -7
:\det \mathbf{A}_2 = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2
Řešení má tedy tvar :x = \frac{\det \mathbf{A}_1}{\det \mathbf{A}} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3} :y = \frac{\det \mathbf{A}_2}{\det \mathbf{A}} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}
Zkouškou se přesvědčíme, že se skutečně jedná o řešení uvedené soustavy.
Důkaz
\frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}}=\frac{1}{\det \mathbf{A}} \begin{vmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{j-1,1} & \cdots & a_{j-1,i-1} & b_{j-1} & a_{j-1,i+1} & \cdots & a_{j-1,n} \\ a_{j,1} & \cdots & a_{j,i-1} & b_j & a_{j,i+1} & \cdots & a_{j,n} \\ a_{j+1,1} & \cdots & a_{j+1,i-1} & b_{j+1} & a_{j+1,i+1} & \cdots & a_{j+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix}=\sum_{j=1}^n \frac{b_j}{\det \mathbf{A}} \begin{vmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,i-1} & 0 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{j-1,1} & \cdots & a_{j-1,i-1} & 0 & a_{j-1,i+1} & \cdots & a_{j-1,n} \\ a_{j,1} & \cdots & a_{j,i-1} & 1 & a_{j,i+1} & \cdots & a_{j,n} \\ a_{j+1,1} & \cdots & a_{j+1,i-1} & 0 & a_{j+1,i+1} & \cdots & a_{j+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,i-1} & 0 & a_{n,i+1} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix}
Jestliže matici získanou vynecháním j-tého řádku a i-tého sloupce matice \mathbf{A} označíme \mathbf{A}_{ji}, pak rozvinutím determinantu v čitateli podle i-tého sloupce získáme
\frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}}=\sum_{j=1}^n b_j\frac{(-1)^{i+j}\det\mathbf{A}_{ji}}{\det \mathbf{A}}
Zlomek ve výrazu je prvkem (\mathbf{A}^{-1})_{i,j} inverzní matice \mathbf{A}^{-1}.
\frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}}=\sum_{j=1}^n (\mathbf{A}^{-1})_{i,j}b_j=(\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b})_i
Protože \mathbf{Ax}=\mathbf{b} a \det \mathbf{A} \ne0, je \mathbf{x}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b} a tedy
x_i=\frac{\det \mathbf{A}_i}{\det \mathbf{A}}
Reference
Související články
Externí odkazy
[url=https://web. archive. +moreorg/web/20061002134341/http://www. kolej. mff. cuni. cz/~lmotm275/skripta/mzahrad/algebra. html]Pěstujeme lineární algebru[/url] * [url=http://www. elektro-energetika. cz/calculations/linrov. php]Online výpočet soustav lineárních rovnic[/url].