Cyklometrická funkce

Arkus sínus a arkus kosínus Arkus tangens a arkus kotangens Arkus sekans a arkus kosekans

Cyklometrické funkce jsou inverzní zobrazení ke goniometrickým funkcím.

Definice

Mezi cyklometrické funkce patří:

* Arkus sinus - \arcsin * Arkus kosinus - \arccos * Arkus tangens - \mathrm{arctg} * Arkus kotangens - \mathrm{arccotg} * Arkus sekans - \arcsec * Arkus kosekans - \arccsc

Aby mohla k libovolné funkci existovat inverzní funkce, daná funkce musí být prostá, to znamená, že různým dvěma prvkům musí přiřazovat dvě různé hodnoty. Protože jsou ale goniometrické funkce periodické, tzn. +more nejsou prosté, musíme nejprve ošetřit jejich definiční obor a také definiční obory goniometrických funkcí. To znamená, že vybereme jen tu podmnožinu definičního oboru dané geometrické funkce, na které je prostá.

Definiční obory cyklometrických a goniometrických funkcí

Vztahy mezi cyklometrickými a goniometrickými funkcemi

sin a arcsin

:\arcsin(\sin x)=x, pokud platí \ |x|\leq \frac{\pi}{2}

:\sin(\arcsin x)=x, pokud platí \ |x|\leq1

cos a arccos

:\arccos(\cos x)=x, pokud platí \ 0 \leq x \leq\pi

:\cos(\arccos x)=x, pokud platí \ |x|\leq1

tg a arctg

:\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}x)=x, pokud platí \ |x|

:\operatorname{tg}(\operatorname{arctg}x)=x

cotg a arccotg

:\operatorname{arccotg}(\operatorname{cotg}x)=x, pokud platí \ 0

:\operatorname{cotg}(\operatorname{arcotg}x)=x

Vztahy mezi cyklometrickými funkcemi

: \begin{align} \arcsin x &= \frac{\pi}{2} - \arccos x = \operatorname{arctg}\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\right) = \frac{\pi}{2} - \operatorname{arccotg}\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\right)\\[12pt] \arccos x &= \frac{\pi}{2} - \arcsin x = \frac{\pi}{2} - \operatorname{arctg}\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\right) = \operatorname{arccotg}\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\right)\\[12pt] \operatorname{arctg}x &= \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right) = \frac{\pi}{2} - \arccos\left(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right) = \frac{\pi}{2} - \operatorname{arccotg}x\\[12pt] \operatorname{arccotg}x &= \frac{\pi}{2} - \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right) = \arccos\left(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right) = \frac{\pi}{2} - \operatorname{arctg}x \end{align}

Dále platí: : \operatorname{arccotg}x = \begin{cases} \operatorname{arctg} \displaystyle{\frac{1}{x}}\, & \text{pokud platí } x>0,\\[12pt] \pi + \operatorname{arctg} \displaystyle{\frac{1}{x}}\, & \text{pokud platí } x

Vztahy mezi cyklometrickými funkcemi se vzájemně opačnými argumenty

: \begin{align}\arcsin(-x) &= -\arcsin x\\ \arccos(-x) &= \pi - \arccos x\\ \operatorname{arctg}(-x) &= - \operatorname{arctg}x\\ \operatorname{arccotg}(-x) &= \pi - \operatorname{arccotg}x \end{align}

Součty a rozdíly cyklometrických funkcí

arcsin x + arcsin y

: \arcsin x\, +\, \arcsin y = \begin{cases} \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right), & \text{pokud platí } xy \leq 0\text{ nebo }x^2 + y^2\leq 1,\\[12pt] \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right), & \text{pokud platí } x > 0, y > 0, x^2 + y^2 > 1,\\[12pt] - \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right), & \text{pokud platí } x 1. \end{cases}

arcsin x − arcsin y

: \arcsin x\,-\,\arcsin y = \begin{cases} \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} - y\sqrt{1-x^2}\right), & \text{pokud platí } xy \geq 0\text{ nebo }x^2 + y^2\leq 1,\\[12pt] \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} - y\sqrt{1-x^2}\right), & \text{pokud platí } x > 0, y 1,\\[12pt] - \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right), & \text{pokud platí } x 0, x^2 + y^2 > 1. \end{cases}

arccos x + arccos y

: \arccos x\,+\,\arccos y = \begin{cases} \arccos\left(xy - \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\right), & \text{pokud platí } x+y \geq 0,\\[12pt] 2\pi - \arccos\left(xy - \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\right), & \text{pokud platí } x+y

arccos x − arccos y

: \arccos x\,-\,\arccos y = \begin{cases} -\arccos\left(xy + \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\right), & \text{pokud platí } x\geq y,\\[12pt] \arccos\left(xy + \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\right), & \text{pokud platí } x

arctg x + arctg y

: \operatorname{arctg}x\,+\,\operatorname{arctg}y = \begin{cases} \operatorname{arctg}\left(\displaystyle{\frac{x+y}{1-xy}}\right), & \text{pokud platí } xy1, x>0\\[12pt] -\pi + \operatorname{arctg}\left(\displaystyle{\frac{x+y}{1-xy}}\right), & \text{pokud platí } xy>1, x

arctg x − arctg y

: \operatorname{arctg}x\,-\,\operatorname{arctg}y = \begin{cases} \operatorname{arctg}\left(\displaystyle{\frac{x-y}{1+xy}}\right), & \text{pokud platí } xy>-1,\\[12pt] \pi + \operatorname{arctg}\left(\displaystyle{\frac{x-y}{1+xy}}\right), & \text{pokud platí } xy0\\[12pt] -\pi + \operatorname{arctg}\left(\displaystyle{\frac{x-y}{1+xy}}\right), & \text{pokud platí } xy

arccotg x + arccotg y

: \operatorname{arccotg}x\,+\,\operatorname{arccotg}y = \begin{cases} \operatorname{arccotg}\left(\displaystyle{\frac{xy-1}{x+y}}\right), & \text{pokud platí } x>-y,\\[10pt] \pi+\operatorname{arccotg}\left(\displaystyle{\frac{xy-1}{x+y}}\right), & \text{pokud platí } x

arcsin x + arccos x

:\arcsin x + \arccos x =\frac{\pi}{2}, pokud platí \ |x|\leq1

arctg x + arccotg x

:\operatorname{arctg}x + \operatorname{arccotg}x =\frac{\pi}{2}

Vyjádření cyklometrických funkcí v logaritmickém tvaru

Cyklometrické funkce se dají také vyjádřit použitím logaritmů a komplexních čísel: : \begin{align} \arcsin x &{}= -\mathrm{i}\ln\left(\mathrm{i}x+\sqrt{1-x^2}\right) &{}\\[10pt] \arccos x &{}= \frac{\pi}{2}\,+\mathrm{i}\ln\left(\mathrm{i}x+\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{\pi}{2}-\arcsin x &{}\\[10pt] \operatorname{arctg}x &{}= \frac{\mathrm{i}}{2}\left(\ln\left(1-\mathrm{i}x\right)-\ln\left(1+\mathrm{i}x\right)\right)= \operatorname{arccotg}\frac{1}{x}\\[10pt] \operatorname{arccotg}x &{}= \frac{\mathrm{i}}{2}\left(\ln\left(x-\mathrm{i}\right)-\ln\left(x+\mathrm{i}\right)\right)= \operatorname{arctg}\frac{1}{x} \end{align}

Vztahy mezi trigonometrickými funkcemi a cyklometrickými funkcemi

Vztahy goniometrických a cyklometrických funkcí je možné jednoduše odvodit z pravoúhlého trojúhelníka ze znalosti Pythagorovy věty.

Vyjádření nekonečným rozvojem

Rozvoj cyklometrických funkcí lze psát jako:

: \begin{align} \arcsin z &= z\,+\,\left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3}\, +\,\left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5}\,+\,\left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7}\,+\, \dots\ = \sum_{n=0}^\infty \frac {\binom{2n} n z^{2n+1}} {4^n (2n+1)}\,\qquad \text{je-li }| z | \le 1\\[10pt] \arccos z &= \frac {\pi} {2}\,-\,\arcsin z = \frac {\pi} {2}\,-\,\left( z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \dots\ \right) = \frac {\pi} {2}\,-\,\sum_{n=0}^\infty \frac {\binom{2n} n z^{2n+1}} {4^n (2n+1)}\,\qquad\text{je-li }| z | \le 1\\[10pt] \operatorname{arctg}z &= z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\dots\ = \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}\,\qquad\text{je-li }| z | \le 1,\ z \neq\pm\mathrm{i}\\[10pt] \operatorname{arccotg}z &= \frac {\pi} {2} - \operatorname{arctg}z \ = \frac {\pi} {2}\,-\,\left( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\dots\ \right) = \frac {\pi} {2}\,-\,\sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}\, \qquad \text{je-li }| z | \le 1,\ z \neq\pm\mathrm{i}\\[10pt] \arcsec z &= \arccos {(1/z)} = \frac {\pi} {2}\,-\,\left( z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \dots\ \right) = \frac {\pi} {2}\,-\,\sum_{n=0}^\infty \frac {\binom{2n} n z^{-(2n+1)}} {4^n (2n+1)}\, \qquad\text{je-li } | z | \ge 1\\[10pt] \arccsc z &= \arcsin {(1/z)} = z^{-1}\,+\,\left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3}\,+\,\left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}} {5}\,+\,\dots\ = \sum_{n=0}^\infty \frac {\binom{2n} n z^{-(2n+1)}} {4^n (2n+1)}\,\qquad\text{je-li }| z | \ge 1 \end{align}

Literatura

Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I., Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. * Bartch, Hans-Jochen: Matematické vzorce, SNTL, Praha 1987, 2. revidované vydání

Externí odkazy

Reference

Kategorie:Cyklometrické funkce Kategorie:Goniometrie