Cesko.wiki Descartesův list
Author
Albert FloresDescartesův list Descartesův list je algebraická křivka třetího řádu, která splňuje rovnici v kartézské soustavě souřadnic:
x^3 + y^3 - 3axy = 0 .
Parametr 3a je definován jako úhlopříčka čtverce, jehož strana se rovná délce největší tětivy smyčky.
Křivka tvoří smyčku v prvním kvadrantu s dvojitým bodem v počátku připomíná tvar listu po kterém byla pojmenována.
Její osou symetrie, je přímka o rovnici: y = x .
Bod A se nazývá vrchol, jeho souřadnice \left(\frac{3a}{2},\frac{3a}{2}\right) .
Pro obě větve existuje asymptota UV, její rovnice: x+y+a=0 .
Plocha mezi oblouky ACO a ABO S_1=\frac{3}{2}a^2
Plocha mezi asymptotou a křivkou se rovná ploše smyčky \textstyle S_2=S_1=\frac{3}{2}a^2 .
Historie
Poprvé byla rovnice křivky studována R. Descartesem v roce 1638, ale vytvořil smyčku pouze v prvním souřadném úhlu, kde x a y jsou kladné hodnoty. +more Descartes věřil, že smyčka se opakuje symetricky ve všech čtyřech kvadrantech, ve formě čtyř okvětních lístků. V té době byla tato křivka nazývána jasmínovým květem.
Ve své moderní podobě byla tato křivka poprvé představena H. Huygensem v roce 1692 .
Rovnice
V kartézské soustavě souřadnic podle definice:
: \textstyle x^3 + y^3 -3axy = 0
* V polární soustavě souřadnic :
: \rho = \frac {3a\cos\varphi\sin\varphi} {\cos^3\varphi+\sin^3\varphi} .
* Parametrická rovnice v pravoúhlém systému:
:\begin{cases}x=\frac{3ap}{1+p^3}\\ y=\frac{3ap^2}{1+p^3}\end{cases} kde p=\operatorname{tg}\varphi .
Otočená křivka Descartesova listu Často se znázorňuje o 135^\circotočená křivka. Její rovnice vypadají takto:
* V pravoúhlém systému:
: y=\pm x \sqrt{\frac{l+x}{l-3x}} kde l=\frac{3a}{\sqrt{2}}
* Parametricky:
:x=l \frac{p^2-1}{3p^2+1},\ y=l\frac{p(p^2-1)}{3p^2+1}
* V polárních souřadnicích:
: \rho = \frac{l \left( \sin^2 \varphi- \cos^2 \varphi\right)}{ \cos \varphi\left( \cos^2 \varphi+ 3 \sin^2 \varphi\right)}
