Diskriminant

Grafy kvadratických funkcí v závislosti na hodnotě diskriminantu Δ. Znaménko diskriminantu určuje počet průsečíků s osou x (přímkou y = 0) a tedy počet (reálných) kořenů odpovídající kvadratické rovnice Diskriminant (latinsky discriminare - rozlišit) je hodnota získaná z koeficientů polynomu, která umožňuje určit vlastnosti jeho kořenů, aniž bychom je znali. Používá se při řešení algebraických rovnic, především kvadratických, a také při studiu vlastností polynomických funkcí. Přesněji řečeno, je to polynomiální funkce získaná z koeficientů původního polynomu. Diskriminant je definován pro polynomy libovolného stupně, ale nejčastěji se používá pro zkoumání kvadratických polynomů.

Např. v případě kvadratických rovnic s reálnými koeficienty rozhoduje diskriminant o množině, ve které se nacházejí její kořeny a o jejich násobnosti. +more Pro D \geq 0 jsou kořeny z množiny reálných čisel, která je podmnožinou množiny komplexních čísel. Právě pro D = 0 má rovnice dvojnásobný (reálný) kořen. Pro D jsou oba kořeny imaginární.

Diskriminant lze také obecněji definovat pro kvadratické formy.

Diskriminant kvadratických rovnic

Pro kvadratickou rovnici ax^2 + bx + c = 0, (kde a \neq 0) je diskriminant D = b^2 - 4ac.

U rovnic s reálnými koeficienty znaménko diskriminantu určuje charakter kořenů: * Pokud D > 0, pak má daná rovnice právě dva různé reálné kořeny x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2a}. * Pokud D = 0, pak má daná rovnice právě jeden dvojnásobný reálný kořen x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}. +more * Pokud D , pak má daná rovnice právě dva různé imaginární sdružené kořeny x_{1,2} = \frac{- b \pm i\sqrt

Diskriminant ryze kvadratické rovnice, dané předpisem: ax^2 + c = 0 (kde a, c \neq 0), je D_r = -4ac: * Pokud D > 0 (liší se znaménko a a c), má daná rovnice dva navzájem opačné kořeny: x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}. * Pokud D (shoduje se znaménko a a c), má daná rovnice dva navzájem opačné imiganinární kořeny: x_{1,2} = \pm i \sqrt{-\frac{c}{a}}.

Diskriminantem kvadratické rovnice v normovaném tvaru :x^2 + px + q = 0 je D_n = p^2 - 4q.

U rovnic s komplexními koeficienty diskriminant jen určuje existenci násobného kořene - právě v tomto případě je nulový.

Vyjádření diskriminantu pomocí kořenů polynomu druhého stupně

Pro kořeny x_1, x_2 polynomu druhého stupně platí:

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2),

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} ; x_1x_2 =\frac{c}{a}.

Vyjádření: b = - (x_1 + x_2)a; c = x_1x_2a;

Dosazením do vzorce pro výpočet diskriminantu: D = b^2 - 4ac = (x_1 + x_2)^2 a^2 - 4a^2x_1x_2 =a^2(x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2) = a^2(x_1 - x_2)^2.

Diskriminant polynomu druhého stupně (kvadratické rovnice) s kořeny x_1,x_2 je dán vztahem: D = a^2(x_1 - x_2)^2.

* Dva různé reálné kořeny x_1,x_2 pro: D = a^2(x_1 - x_2)^2 > 0 * Jeden dvojnásobný reálný kořen x_1 = x_2 pro: D = a^2(x_1 - x_2)^2 = 0 * Dva komplexně sdružené imaginární kořeny x_1 = m + ni, x_2 = m - ni pro: D = a^2(m + ni - m + ni)^2 = -4a^2n^2

Diskriminant kubických rovnic

U kubické rovnice ax^3+bx^2+cx+d, (kde a \neq 0) se diskriminant definuje s pomocí jejích kořenů x_1, x_2, x_3 vztahem :D_3=a^4(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2(x_2-x_3)^2.

Lze ho vyjádřit díky symetrii (pomocí Viètových vzorců) jen pomocí koeficientů rovnice jako :D = b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd.

S reálnými koeficienty platí:

* Tři různé reálné kořeny pro D > 0.

* Násobný kořen ze tří reálných pro D = 0.

* Jeden reálný a dva imaginární sdružené kořeny pro D

U rovnice v redukovaném tvaru :x^3+px+q=0 se počítá diskriminant jednodušeji jako :D=-[(\frac{p}{3})^3+(\frac{q}{2})^2], což je D_3 / 108.

Diskriminant polynomu n−tého stupně

Diskriminantem polynomu n−tého stupně s kořeny x_1, x_2, . , x_n rozumíme výraz D_n(x_1, x_2, . +more, x_n) = a^{2n - 2}_n\prod_{i : =a_n^{2n-2}(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2 \dotsm (x_2-x_3)^2(x_2-x_4)^2 \dotsm (x_3-x_4)^2 \dotsm (x_{n-1}-x_n)^2 Jedná se v podstatě o součin všech kvadrátů rozdílů neuspořádaných dvojic kořenů. Proto je roven nule, právě když existuje násobný kořen.

U rovnice s reálnými koeficienty platí, že pokud má všechny kořeny reálné, je diskriminant nezáporný. Opak platí jen u rovnic nejvýše třetího stupně.

Diskriminant polynomu stupně n je symetrický polynom stupně n(n-1) jeho kořenů a lze jej vyjádřit pomocí Vietových vzorců jen pomocí koeficientů polynomu.

Diskriminant úzce souvisí s Vandermondovým determinantem: :D_n=a_n^{2n-2}[\det \boldsymbol V (x_1,x_2,...,x_n)]^2.

Reference

Související články

Kvadratická rovnice * Kubická rovnice * Vandermondova matice

Externí odkazy

Řešené [url=https://reseneulohy.cz/1607/cardanovy-vzorce]příklady[/url] * [url=http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/1589-cardanovy-vzorce]Kubická rovnice[/url]

Kategorie:Algebra