Dělení se zbytkem

Vydělit celé číslo a celým nenulovým číslem b dělením se zbytkem znamená přiřadit k němu pár celých čísel q a r ,tak aby {a=b \cdot q+r} (r∈[0,|b|) ∩\mathbb{N}); q pak nazýváme podíl a r zbytek

Příklad

13=3*4+1 \cdot je dělení se zbytkem čísla 13 číslem 3.

-10=-4 \cdot 3 + 2

3=5 \cdot 0 + 3

Existence

Existence takového páru v případě že a a b jsou přirozená se dá dokázat následovně:

Vezměme množinu všech celých čísel k,tak aby bk ≤ a. Tato množina je majorovaná a jelikož je to množina celých čísel, tak má maximum. +more Nazvěme si toto maximum q. Potom máme qb≤a\mathbb{N}.

Jedinečnost

Jedinečnost tohoto páru (fakt, že takových párů není víc než jeden) lze dokázat následovně:

Nechť a=b.q+r(r∈[0,|b|) a a=b.q'+r'(r∈[0,|b|)

b.q+r=b.q'+r'

b.(q-q')+(r-r')=0

b.(q'-q)=(r-r')

Z této rovnosti vyplývá,že r-r' je dělitelné b.

0≤r

Externí odkazy

[url=http://do-skoly.cz/cs/courses/math/m-1/arithmetic-operations/calculator.aspx]do-skoly.cz[/url] - Online kalkulátor pro výpočet dělení se zbytkem včetně zkoušky správnosti výsledku.

Kategorie:Aritmetika