Fareyova posloupnost

Fareyova posloupnost řádu n je posloupnost zlomků mezi 0 a 1, které jsou jednak v základním tvaru, jednak mají ve jmenovateli číslo menší nebo rovné n. Například pro n = 5 tedy vypadá takto:

:F5 = {0⁄1, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 1⁄1}

Je pojmenována po britském geologovi Johnu Fareyovi st. , který si všiml, že nové členy v posloupnosti Fn lze získat z řady Fn-1 jako medián dvou sousedních členů. +more Důkaz tohoto pozorování však podal až Cauchy.

Vlastnosti

Délka

Máme-li k dispozici Eulerovu funkci φ, můžeme délku n-té Fareyovy posloupnosti snadno vyjádřit jako

:|F_n| = |F_{n-1}| + \varphi (n).

Asymptoticky lze velikost n-tého prvku posloupnosti odhadnout jako

:|F_n| \sim \frac {3n^2}{\pi^2}.

Externí odkazy

[url=http://kam.mff.cuni.cz/~klazar/kap2.ps]Druhá kapitola[/url] skript Martina Klazara, Kaleidoskop teorie čísel

Kategorie:Zlomky Kategorie:Teorie čísel Kategorie:Matematické posloupnosti a řady