Frobeniova matice

Technology

12 hours ago

Author

Frobeniova matice je v numerické matematice speciální druh čtvercové matice, která splňuje následující tři vlastnosti: * všechny položky na hlavní diagonále jsou jedničky * položky v jednom libovolném sloupci pod hlavní diagonálou jsou libovolné * všechny ostatní položky jsou nulové

Frobeniova matice tady vypadá takto: :A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{32} & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_{n2} & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}

Frobeniovy matice jsou pojmenované po Ferdinandu Georgu Frobeniovi. Někdy se také nazývají Gaussovy transformace po Carlu Friedrichu Gaussovi. +more Frobeniovy matice se používají při Gaussově eliminační metodě pro reprezentaci gaussovských transformací.

Násobení libovolné matice zleva (levé násobení) Frobeniovou maticí odpovídá přičtení určité lineární kombinace zbývajících řádků k určitému řádku matice. Násobení inverzní maticí odpovídající lineární kombinaci od daného řádku odečte. +more To odpovídá jedné elementární operaci při gaussovské eliminaci (vedle transpozice řádků a násobení řádku skalárem).

Vlastnosti

Frobeniovy matice jsou invertibilní. Inverzí Frobeniovy matice je opět Frobeniova matice, která se od původní matice liší obrácenými znaménky čísel mimo hlavní diagonálu. +more Inverzní matice k výše uvedené matici tedy je: :A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -a_{32} & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & -a_{n2} & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}.

Tento vzorec lze dokonce zobecnit na jakoukoli mocninu matice. Pro všechna k\in\mathbb{Z} platí: :A^{k}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & k\cdot a_{32} & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & k\cdot a_{n2} & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}=I+k\cdot (A-I)