Galoisova korespondence

Technology

12 hours ago

Author

Galoisova korespondence je pojem z obecné algebry a teorie množin a obvykle označuje zobrazení mezi dvěma částečně uspořádanými množinami splňující určité požadavky. Pojem Galoisova korespondence zobecňuje korespondenci mezi podgrupami a podtělesy v Galoisově teorii (pojmenované po francouzském matematikovi Évaristu Galoisovi).

Definice

Ať X a Y jsou množiny. Ať \mathcal{A}:\mathcal{P}(X) \longrightarrow \mathcal{P}(Y) a \mathcal{B}:\mathcal{P}(Y) \longrightarrow \mathcal{P}(X). +more Pak (\mathcal{A},\mathcal{B}) nazveme Galoisovou koresponencí, platí-li: * A_1 \subseteq A_2 \in \mathcal{P}(X) \Rightarrow \mathcal{A}(A_1) \supseteq \mathcal{A}(A_2), * B_1 \subseteq B_2 \in \mathcal{P}(Y) \Rightarrow \mathcal{B}(B_1) \supseteq \mathcal{B}(B_2), * \mathcal{B}\mathcal{A}(A) \supseteq A pro \forall A \in X, * \mathcal{A}\mathcal{B}(B) \supseteq B pro \forall B \in Y.

Někdy se definuje Galoisova korespondence alternativně následujícím způsobem:

Buď \phi \subseteq X \times Y. Definujeme zobrazení \mathcal{P}(X) \longrightarrow \mathcal{P}(Y) takto: * A \longmapsto A^{\rightarrow}=\lbrace b \in Y | (a,b) \in \phi, \forall a \in A \rbrace * B \longmapsto B^{\leftarrow}=\lbrace a \in Y | (a,b) \in \phi, \forall b \in B \rbrace.

Podotýkáme, že v anglické literatuře je pojem Galoisova korespondence vymezen pro pár vzájemně bijektivních zobrazení, zatímco Galoisově korespondenci v širším smyslu odpovídá pojem Galois connection.

Vlastnosti

Je-li (\mathcal{A},\mathcal{B}) Galoisova korespondence množin X a Y, pak platí: * \mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{A}(A)=\mathcal{A}(A) pro \forall A \in X, a symetricky \mathcal{B}\mathcal{A}\mathcal{B}(B)=\mathcal{B}(B) pro \forall B \in Y. * Složená zobrazení \mathcal{B}\mathcal{A} a \mathcal{A}\mathcal{B} jsou uzávěrovými operátory na X a Y. +more * Galoisova korespondence poskytuje vzájemně inverzní bijekce \mathcal{A} a \mathcal{B} množin \mathcal{X}=\lbrace \mathcal{A}(A) | A \in X \rbrace a \mathcal{Y}=\lbrace \mathcal{B}(B) | B \in Y \rbrace.

Příklady

Algebraická geometrie

Korespondence (\mathbb{I}, \mathbb{V}) mezi algebraickými množinami, tj. podmnožinami \mathbb{A}^{n}=K \times K \times. +more \times K, kde K je těleso, a ideály okruhu polynomů K [x_1, x_2,. ,x_n], taková, že ::\mathbb{I}(X)=\lbrace p \in K [x_1, x_2,. ,x_n] | p(a)=0, \forall a \in X \rbrace, ::\mathbb{V}(S)=\lbrace a \in \mathbb{A}^{n} | p(a)=0, \forall p \in S \rbrace,. S touto Galoisovou korespondencí je těsně spjatá Hilbertova věta o nulách.

Univerzální algebra

V univerzální algebře se vyskytuje několik důležitých Galoisovych korespondencí:

Nechť Alg je množina všech \Sigma-algeber, Eq je množina všech \Sigma-identit, \phi \subseteq Alg \times Eq je relace taková, že (\underline{A}, s \approx t) \leftrightarrow \underline{A} \models s \approx t. Pak dvojice zobrazení \mathcal{K} \mapsto Id(\mathcal{K}) a \mathcal{E} \mapsto Mod(\mathcal{E}), kde \mathcal{K} \in Alg a \mathcal{E} \in Eq, je Galoisovou korespondencí indukovanou relací \phi.

Máme-li nějakou množinu A, označíme Op(A) množinu všech operací na A, Rel(A) množinu všech relací na A a nechť je \phi \subseteq Op \times Rel kompatibilita, tj. (f, R) \Leftrightarrow f je kompatibilní s R. +more Pak Galoisova korespondence indukovaná touto relací poskytuje dvojice zobrazení. Obraz množiny F \in Op(A) nazýváme invariantem F a značíme Inv(F), obraz \Theta \in Rel(A) nazýváme polymorfismy \Theta a značíme Pol(\Theta).