Cesko.wiki Gaussův zákon elektrostatiky
Author
Albert FloresGaussův zákon elektrostatiky vyjadřuje vztah mezi tokem elektrické intenzity a elektrickým nábojem.
Formulace zákona
Gaussův zákon lze vyjádřit následující formulací: :Tok elektrické intenzity \Phi_E libovolnou uzavřenou plochou (Gaussovou plochou) je přímo úměrný elektrickému náboji Q nacházejícímu se uvnitř této plochy. Konstantou úměrnosti je převrácená hodnota permitivity vakua \varepsilon_0.
Uvedené tvrzení bývá zapisováno v matematické podobě jako :\Phi_E = \frac {Q}{\varepsilon_0}
Vyjádřením toku intenzity elektrického pole lze získat také vztah :\Phi = \oint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0} Toto vyjádření Gaussova zákona bývá také označováno jako Gaussův zákon elektrostatiky v integrálním tvaru.
Gaussův zákon lze formulovat nejen pro soustavu bodových nábojů, ale také pro spojitě rozložené náboje.
Pokud uvažujeme uzavřenou plochu S libovolného tvaru, která tvoří hranici tělesa o objemu V, které obsahuje celkový náboj Q, který může být tvořen bodovými i spojitě rozloženými elektrickými náboji, pak pro tok intenzity elektrostatického pole plochou S platí vztah :\oint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}
Pokud se uvnitř plochy S nachází pouze objemově rozložené náboje, lze celkový náboj určit ze vztahu Q=\int_V\rho(\mathbf{r})\mathrm{d}V, což v kombinaci s předchozím vztahem dá výraz :\oint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho\mathrm{d}V Úpravou levé strany pomocí Gaussovy věty dostaneme :\int_V\operatorname{div}\,\mathbf{E}\mathrm{d}V = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho\mathrm{d}V Aby tato rovnice platila pro libovolně zvolený objem V, musí se integrované funkce rovnat v každém bodě, tzn. :\operatorname{div}\,\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{\rho(\mathbf{r})}{\varepsilon_0} Tento vztah je pouze jiným vyjádřením Gaussova zákona. +more Nevztahuje se však k ploše nebo objemu, ale pouze k danému bodu prostoru, a je označován jako Gaussův zákon elektrostatiky v diferenciálním tvaru.
Gaussův zákon v dielektriku
V dielektriku se Gaussův zákon vyjadřuje pomocí elektrické indukce \mathbf{D} v integrálním tvaru jako :\oint_S\mathbf{D}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = Q nebo v diferenciálním tvaru jako :\operatorname{div}\,\mathbf{D} = \rho
V tomto tvaru má zákon obecnou platnost, tedy i pro proměnné elektromagnetické pole. Představuje jednu z Maxwellových rovnic.
Počet siločar
Často se lze setkat s jinou formulací Gaussova zákona elektrostatiky: :Celkový počet siločar procházejících uzavřenou plochou libovolného tvaru, která v elektrostatickém poli uzavírá elektrický náboj Q, je roven podílu velikosti náboje Q uvnitř této plochy a permitivity vakua \varepsilon_0, přičemž nezáleží na rozložení elektrického náboje.
Teoreticky je možné vést každým bodem elektrostatického pole nějakou siločáru. Ukazuje se však výhodnější omezit počet siločar, aby souvisel s velikostí toku intenzity elektrostatického pole vztahem :N = \Phi, kde N označuje počet siločar.
V takovém případě se Gaussův zákon zapisuje ve tvaru :N = \frac{Q}{\varepsilon_0}
Vlastnosti
Gaussův zákon elektrostatiky se používá pro výpočet intenzity elektrického pole v různých bodech prostoru, zpravidla lze-li uplatnit některé symetrie problému. Je přímým důsledkem Gaussovy věty a Maxwellových rovnic.
* Jestliže uvnitř plochy není uzavřeno žádné těleso s elektrickým nábojem, pak je celkový tok elektrické intenzity touto plochou nulový. * Jestliže má plocha kulový tvar poloměru r a v jejím středu se nachází bodový elektrický náboj Q, pak intenzita elektrického pole v libovolném bodě na ploše má velikost :E = \frac {\Phi_E}{4 \pi r^2} = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac {Q}{r^2} Stejný vztah lze však získat také z Coulombova zákona. +more Gaussův zákon elektrostatiky je ekvivalentní s Coulombovým zákonem. * Uvnitř nabitého vodivého tělesa je nulová elektrická intenzita. Protože elektrický náboj se u vodiče v ustáleném stavu rozmístí vždy na povrchu tělesa, pak podle Gaussova zákona musí být tok intenzity libovolnou plochou uvnitř tělesa nulový, a tím musí být v libovolném bodě uvnitř tělesa také nulová elektrická intenzita. Této skutečnosti využívá např. van de Graaffův generátor.
Související články
Elektřina * Elektrostatika * Tok intenzity elektrického pole * Elektrický náboj