Gradient (matematika)

Gradient je v obecném smyslu slova směr a intenzita růstu. Ve formálním jazyce matematiky označuje diferenciální operátor, jehož výsledkem je vektorové pole vyjadřující směr a velikost největší změny skalárního pole. Při formálním zápisu se používá operátor nabla \nabla.

Často se používá záporně vzatý gradient, který míří směrem největšího poklesu skalárního pole. V matematice se používá k numerickému nalezení extrémů funkce více proměnných (metoda největšího spádu). +more V aplikacích se záporně vzatý gradient využívá v konstitutivních zákonech, kde vyjadřuje podnět dávající do pohybu tok fyzikálního pole (například tok tepla z místa o větší teplotě do místa o menší teplotě).

Definice gradientu

V souřadnicovém vyjádření je v daném místě gradientem vektor, jehož složky tvoří jednotlivé parciální derivace funkce vyjadřující dané skalární pole. Pro trojrozměrné pole je gradient: :\nabla \phi = \mathrm{grad}\,\phi = \begin{pmatrix} {\frac{\partial \phi}{\partial x}}, {\frac{\partial \phi}{\partial y}}, {\frac{\partial \phi}{\partial z}} \end{pmatrix}

Přestože je gradient definován v kartézských souřadnicích, jde o invariantní veličinu, která nezávisí na volbě souřadnicové soustavy.

Zobecnění pro n-rozměrný prostor lze s pomocí Einsteinova sumačního pravidla vyjádřit ve tvaru :\nabla f = \mathbf{e}_i \frac{\partial f}{\partial x_i}, kde x_1,x_2,...,x_n jsou souřadnice a \mathbf{e}_i jsou bázové vektory.

Operátor gradientu lze aplikovat nejen na skalární funkce, ale také na vektory a tenzory. Aplikace operátoru gradientu na tenzor zvyšuje jeho řád o jedna.

Vlastnosti gradientu

Jsou-li F,G vektorová pole, f,g funkce, a,b reálná čísla, má gradient následující vlastnosti.

* Gradient je lineární vůči reálným číslům: \nabla\left(af+bg\right) = a\nabla f + b\nabla g.

* Gradient splňuje Leibnizovo pravidlo pro funkce: \nabla\left(fg\right) = \left(\nabla f\right) g + f\nabla g.

* Gradient skalárního součinu vektorů splňuje \nabla\left(\mathbf{F}\cdot\mathbf{G}\right)=\nabla\mathbf{F}\cdot\mathbf{G}+\nabla\mathbf{G}\cdot\mathbf{F}, kde \nabla\mathbf{F} chápeme jako matici a výsledek jako sloupcový vektor. * Gradient skalární funkce je v každém bodě kolmý na vrstevnici (nebo obecněji ekvipotenciální plochu) procházející tímto bodem.

Vyjádření v různých soustavách souřadnic

Následující vztahy udávají vyjádření gradientu v nejrůznějších souřadných soustavách v trojrozměrném prostoru. Je-li funkce f skalární pole v daných souřadnicích a stříškované tučné znaky souřadnic jsou jednotkové vektory báze v daných souřadnicích, pak platí

Ve válcových souřadnicích:

:\nabla {f} = {\partial f \over \partial r}\boldsymbol{\hat r} + {1 \over r}{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi} + {\partial f \over \partial z}\boldsymbol{\hat z}.

Ve sférických souřadnicích:

:\nabla {f} = {\partial f \over \partial r}\boldsymbol{\hat r} + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\boldsymbol{\hat \theta} + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi}

Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x1,x2,x3, jejíž Laméovy koeficienty jsou po řadě h1,h2,h3

:\nabla {f} = \frac{1}{h_1}{\partial f \over \partial x_1}\boldsymbol{\hat x}_1 + \frac{1}{h_2}{\partial f \over \partial x_2}\boldsymbol{\hat x}_2 + \frac{1}{h_3}{\partial f \over \partial x_3}\boldsymbol{\hat x}_3.

Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) pro složky vektoru gradientu platí

: \nabla {f} = f_{;k} \boldsymbol{\mathrm{d}}x^k, \nabla {f} = f_{;i}g^{ik} \frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial} x^k} =f^{;k} \frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial} x^k}

Zde je potřeba podotknout, že zatímco v předchozím textu jsme za bázi brali ortonormální bázi v daných souřadnicích, ve vzorci v obecných souřadnicích používáme bázi vektorů nebo diferenciálních forem a explicitně vypisujeme jakou.

Související články

Operátor * Parciální derivace * Nabla * Konstituční zákony

Externí odkazy

Kategorie:Diferenciální operátory Kategorie:Vektorový počet