Gradient (matematika)

Ukázka gradientu (modré vektory) pro dvě různá skalární pole (černá představuje vyšší hodnotu skalární funkce). Gradient funkce v trojrozměrném prostoru - nejdelší šipky značí největší růst, kratší šipky pomalejší. Gradient na 3D povrchu - červená šipka značí největší růst, modrá pomalejší, na vrcholu je růst i gradient nulový. Gradient (spád) je diferenciální operátor, jehož výsledkem je vektorové pole vyjadřující směr a velikost největší změny skalárního pole.

Definice

Operátor gradient je definován jako působení operátoru nabla na funkci f:\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}:

::\mathrm{grad}\,f = \nabla f = \begin{bmatrix} {\frac{\partial f}{\partial x}}, {\frac{\partial f}{\partial y}}, {\frac{\partial f}{\partial z}} \end{bmatrix}.

Nabla je diferenciální operátor, značí se symbolem {\nabla} (tj. symbolem nabla, názvu hebrejského strunného nástroje podobného tvaru), jakožto notací pro zkrácený zápis. +more Svým diferenciálním charakterem působí operátor napravo (tedy na symboly stojící napravo od něj), přičemž se projevuje jeho vektorový charakter. Zcela výjimečně se lze setkat také s tím, že je operátor nabla označován jako Hamiltonův operátor, neboť jej jako první používal sir William Rowan Hamilton. Označení Hamiltonův operátor je však téměř výhradně používáno pro hamiltonián. To je operátor celkové energie v kvantové mechanice, který se od operátoru nabla zásadně liší.

V n-rozměrném prostoru lze operátor gradient vyjádřit působením operátoru nabla na funkci f = f(x_1,\ldots,x_n):

:\mathrm{grad}\,f = \nabla f = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{\partial f}{\partial x_i}\mathbf{e}_i} = \left[\frac{\partial f}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right],

kde operátor nabla má tvar: {\nabla} \equiv \left[\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n}\right] a \mathbf{e}_i jsou vektory kanonické báze \mathbb{R}^{n}.

Přestože je gradient definován v kartézských souřadnicích, jde o invariantní veličinu, která nezávisí na volbě souřadnicové soustavy. V souřadnicovém vyjádření je v daném místě gradientem vektor, jehož složky tvoří jednotlivé parciální derivace funkce vyjadřující dané skalární pole. +more Operátor gradientu lze aplikovat nejen na skalární funkce, ale také na vektory a tenzory. Aplikace operátoru gradientu na tenzor zvyšuje jeho řád o jedna.

Vlastnosti

Jsou-li \mathbf F, \mathbf G vektorová pole, f, g funkce, a, b reálná čísla, potom operátor gradient splňuje následující rovnosti:

* Gradient je lineární vůči reálným číslům: \nabla\left(af+bg\right) = a\nabla f + b\nabla g.

* Gradient splňuje Leibnizovo pravidlo pro funkce: \nabla\left(fg\right) = \left(\nabla f\right) g + f\nabla g.

* Gradient skalárního součinu vektorů splňuje \nabla\left(\mathbf{F}\cdot\mathbf{G}\right)=\nabla\mathbf{F}\cdot\mathbf{G}+\nabla\mathbf{G}\cdot\mathbf{F}, kde \nabla\mathbf{F} chápeme jako matici a výsledek jako sloupcový vektor. * Gradient skalární funkce je v každém bodě kolmý na vrstevnici (nebo obecněji ekvipotenciální plochu) procházející tímto bodem.

Vyjádření v různých soustavách souřadnic

Je-li f skalární pole v daných souřadnicích, pak platí:

Ve válcových souřadnicích:

:\nabla {f} = {\partial f \over \partial r}\boldsymbol{\vec r} + {1 \over r}{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\vec \varphi} + {\partial f \over \partial z}\boldsymbol{\vec z} .

Ve sférických souřadnicích:

:\nabla {f} = {\partial f \over \partial r}\boldsymbol{\vec r} + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\boldsymbol{\vec \theta} + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\vec \varphi} .

V obecných ortogonálních souřadnicích má gradient s využitím Laméových koeficientů h_1,h_2,h_3 tvar:

:\nabla {f} = \frac{1}{h_1}{\partial f \over \partial x_1}\boldsymbol{\vec x}_1 + \frac{1}{h_2}{\partial f \over \partial x_2}\boldsymbol{\vec x}_2 + \frac{1}{h_3}{\partial f \over \partial x_3}\boldsymbol{\vec x}_3 .

Užití

Často se používá záporně vzatý gradient, který míří směrem největšího poklesu skalárního pole. V matematice se používá k numerickému nalezení extrémů funkce více proměnných (metoda největšího spádu). +more V aplikacích se záporně vzatý gradient využívá v konstitutivních zákonech, kde vyjadřuje podnět dávající do pohybu tok fyzikálního pole (například tok tepla z místa o větší teplotě do místa o menší teplotě).

Literatura

Související články

Divergence (operátor) * Rotace (operátor) * Laplaceův operátor * Hamiltonův operátor * Parciální derivace

Externí odkazy

Kategorie:Diferenciální operátory Kategorie:Vektorový počet