Grashofovo číslo

Grashofovo číslo (Gr) je podobnostní číslo v dynamice tekutin a přenosu tepla, které udává poměr vztlaku a viskózní síly působící na kapalinu. Často se objevuje při popisu volné konvekce. Je pojmenované po německém inženýrovi Franzi Grashofovi.

Použití

Grashofovo číslo je:

: \mathrm{Gr}_L = \frac{g \beta (T_s - T_\infty ) L^3}{\nu ^2}\, pro svislou desku : \mathrm{Gr}_D = \frac{g \beta (T_s - T_\infty ) D^3}{\nu ^2}\, pro trubku : \mathrm{Gr}_D = \frac{g \beta (T_s - T_\infty ) D^3}{\nu ^2}\, pro obtékaná tělesa

kde: : g je gravitační zrychlení : β je teplotní součinitel objemové roztažnosti (přibližně rovný 1/T pro ideální plyny) : Ts je povrchová teplota : T∞ je průměrná teplota : L je výška desky : D je vnitřní průměr : ν je kinematická viskozita.

Indexy L a D naznačují charakteristický rozměr.

Přechod k turbulentnímu proudění dochází při 108 L 9 pro přirozenou konvekci na svislé stěně. Při vyšších Grashofových číslech je mezní vrstva turbulentní a při nižších laminární.

Grashofovo číslo spolu s Prandtlovým číslem dává Rayleighovo číslo, bezrozměrnou veličinu charakterizující konvekci v přenosu tepla.

Přenos hmoty

Existuje analogická forma Grashofova čísla používaná v případech volné konvekce v přenosu hmoty.

: \mathrm{Gr}_c = \frac{g \beta^* (C_{a,s} - C_{a,a} ) L^3}{\nu^2}

kde:

: \beta^* = -\frac{1}{\rho} \left ( \frac{\partial \rho}{\partial C_a} \right )_{T,p}

a:

: g je gravitační zrychlení : Ca,s je koncentrace a na povrchu : Ca,a je koncentrace a v okolním médiu : L je charakteristická délka : ν je kinematická viskozita : ρ je hustota kapaliny : Ca je koncentrace a : T je teplota (konstantní) : p je tlak (konstantní).

Derivace

Prvním krokem k derivaci Grashofova čísla je úprava koeficientu objemové roztažnosti, \mathrm{\beta}.

:\beta = \frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p =\frac{-1}{\rho}\left(\frac{\partial\rho}{\partial T}\right)_p

Měli byste mít na paměti, že v ve výše uvedené rovnici zastupuje měrný objem, a není stejné jako v v následující sekci, které reprezentuje rychlost. Vztah, dávající do souvislosti koeficient objemové roztažnosti \mathrm{\beta} a hustotu \mathrm{\rho} při konstantním tlaku, může být zapsán jako:

:\rho=\rho_o (1-\beta \Delta T)

kde: :\rho_o je průměrná hustota tekutiny :\rho je hustota mezní vrstvy tekutiny :\Delta T = (T - T_o) je teplotní rozdíl mezi mezní vrstvou a tekutinou

Existují dva způsoby, jak zjistit Grashofovo číslo. První využívá bilanci energie, zatímco druhý využívá vztlakovou sílu díky rozdílu hustoty mezi mezní vrstvou a zbytkem tekutiny.

Energetická bilance

Využíváme bilanci energie pro rotačně symetrické proudění. Tato analýza v sobě zahrnuje jak gravitační zrychlení, tak i přenos tepla. +more Matematické rovnice dále charakterizují jak rotačně symetrické proudění, tak dvourozměrné rovinné proudění.

:\frac{\partial}{\partial s}(\rho u r_o^{n})+{\frac{\partial}{\partial y}}(\rho v r_o^{n})=0

kde:

:s je směr rotace, t. j. +more směr rovnoběžný s povrchem :u je tangenciální rychlost, t. j. rychlost rovnoběžná s povrchem :y je vektor roviny, t. j. směr kolmý na povrch :v je normálová rychlost, t. j. rychlost kolmá na povrch :r_o je poloměr.

V této rovnici horní index n určuje, zda se jedná o rotačně symetrický proudění nebo rovinné proudění.

:n = 1: rotačně symetrické proudění :n = 0: rovinné, dvoufázové proudění :g je gravitační zrychlení

Tato rovnice se rozšíří o fyzikální vlastnosti tekutiny:

:\rho\left(u \frac{\partial u}{\partial s} + v \frac{\partial u}{\partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial y}\left(\mu \frac{\partial u}{\partial y}\right) - \frac{d p}{d s} + \rho g.

Kde můžeme dále zjednodušit rovnici hybnosti tím, že položíme rychlost celé tekutiny rovnou 0 (u = 0).

:\frac{d p}{d s}=\rho_o g

Tento vztah ukazuje, že gradient tlaku je dán pouze rozdílem hustoty kapaliny a gravitačním zrychlením. Dalším krokem je vložení gradientu tlaku do rovnice hybnosti.

:\rho\left(u \frac{\partial u}{\partial s}+v \frac{\partial u}{\partial y}\right)=\mu \left(\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)+\rho g \beta (T-T_o)

Další zjednodušení rovnice hybnosti dosáhneme dosazením koeficientu objemové roztažnosti místo rozdílu hustot \rho_o - \rho = \beta \rho(T - T_o), a vztahem pro kinematickou viskozitu, \nu = \frac{\mu}{\rho}.

: u\left(\frac{\partial u}{\partial s}\right)+v \left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)=\nu \left(\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)+g \beta(T - T_o)

Pro zjištění Grashofova čísla musí být výše uvedená rovnice bezrozměrná. To znamená, že žádná proměnná v rovnici nesmí obsahovat rozměr, a namísto toho má obsahovat charakteristické poměry pro uvedený případ. +more Toho se dosáhne podělením všech proměnných příslušnými konstantními množstvími. Délky jsou poděleny charakteristickou délkou, L_c. Rychlosti jsou poděleny příslušnými referenčními rychlostmi, V, které berou v úvahu Reynoldsovo číslo V=\frac{\mathrm{Re}_L \nu}{L_c}. Teploty jsou poděleny vhodnými rozdíly teplot, (T_s - T_o). Tyto bezrozměrné parametry vypadají pak takto:.

:s^*=\frac{s}{L_c}, :y^* =\frac{y}{L_c}, :u^*=\frac{u}{V}, :v^* = \frac{v}{V}, :T^*=\frac{(T-T_o)}{(T_s - T_o)}.

Hvězdičky představují bezrozměrné parametry. Zkombinováním těchto bezrozměrných rovnic s rovnicemi hybnosti dostáváme následující zjednodušenou rovnici.

:u^* \frac{\partial u^*}{\partial s^*} + v^* \frac{\partial u^*}{\partial y^*} =\left[ \frac{g \beta(T_s - T_o)L_c^{3}}{\nu^2} \right] \frac{T^*}{\mathrm{Re}_L^{2}}+\frac{1}{\mathrm{Re}_L} \frac{\partial^2 u^*}{\partial {y^*}^2}

kde:

:T_s je povrchová teplota :T_o je teplota kapaliny :L_c je charakteristická délka.

Bezrozměrný parametr v hranaté závorce v předchozí rovnici je Grashofovo číslo:

:\mathrm{Gr}=\frac{g \beta(T_s-T_o)L_c^{3}}{\nu^2}.

Buckinghamův Pi Teorém

Další formovou bezrozměrné analýzy, kterou získáme Grashofovo číslo, je známý jako Buckinghamův Pi Teorém. Tato metoda zahrnuje vztlakovou sílu každého objemu F_b díky rozdílu hustoty v mezní vrstvě a zbytku kapaliny.

:F_b = (\rho - \rho_o) g

Tato rovnice může být upravena:

:F_b = \beta g \rho_o \Delta T.

Seznam použitých proměnných v této metodě je umístěn níže.

Proměnná	Symbol	Rozměr
Charakteristická délka	L	\mathrm{L}
Viskozita tekutiny	\mu	\mathrm{\frac{M}{L t}}
Tepelná kapacita tekutiny	c_p	\mathrm{\frac{Q}{M T}}
Tepelná vodivost tekutiny	\lambda	\mathrm{\frac{Q}{L t T}}
Koeficient objemové roztažnosti	\beta	\mathrm{\frac{1}{T}}
Gravitační zrychlení	g	\mathrm{\frac{L}{t^2}}
Rozdíl teplot	\Delta T	\mathrm{T}
Součinitel přestupu tepla	\alpha	\mathrm{\frac{Q}{L^2 t T}}

S ohledem na Buckinghamův pi teorém existuje 9 - 5 = 4 bezrozměrných skupin. Vybereme-li L, \mu, \lambda, g a \beta jako referenční proměnné, pak skupiny \pi jsou následující:

:\pi_1 = L^a \mu^b \lambda^c \beta^d g^e c_p,

:\pi_2 = L^f \mu^g \lambda^h \beta^i g^j \rho,

: \pi_3 = L^k \mu^l \lambda^m \beta^n g^o \Delta T,

: \pi_4 = L^q \mu^r \lambda^s \beta^t g^u h.

Vyřešením těchto skupin \pi dostaneme:

: \pi_1 = \frac{\mu(c_p)}{\lambda} = Pr,

: \pi_2 =\frac{l^3 g \rho^2}{\mu^2},

: \pi_3 =\beta \Delta T,

: \pi_4 =\frac{\alpha L}{\lambda} = Nu

Ze dvou skupin \pi_2 a \pi_3, získáme Grashofovo číslo:

:\pi_2 \pi_3=\frac{\beta g \rho^2 \Delta T L^3}{\mu^2} = \mathrm{Gr}.

Použitím \nu = \frac{\mu}{\rho} a \Delta T = (T_s - T_o) může být předchozí rovnice přepsána na stejný výsledek jako při derivování Grashofova čísla z bilance energie.

:\mathrm{Gr} = \frac{\beta g \Delta T L^3}{\nu^2}

Při nucené konvekci řídí Reynoldsovo číslo proudění tekutiny, ale při přirozené konvekci tuto funkci zastává Grashofovo číslo.

Reference

Jaluria, Yogesh. Natural Convection Heat and Mass Transfer (New York: Pergamon Press, 1980). +more * Cengel, Yunus A. Heat and Mass Transfer: A Practical Approach, 3rd Edition (Boston: McGraw Hill, 2003). * Eckert, Ernst R. G. and Drake, Robert M. Analysis of Heat and Mass Transfer (New York: McGraw Hill, 1972). * Welty, James R. Fundamentals of Momentum, Heat, and Mass Transfer (New York: John Wiley & Sons, 1976).

Kategorie:Bezrozměrné jednotky Kategorie:Mechanika tekutin Kategorie:Fyzikální veličiny Kategorie:Termodynamika