Cesko.wiki Hamiltonova–Jacobiho rovnice
Author
Albert FloresHamiltonova-Jacobiho rovnice je základní rovnicí analytické mechaniky, která popisuje pohyb částic v klasické fyzice. Tato rovnice byla formulována Williamem Rowanem Hamiltonem a Carl Gustavem Jakobem a je obecnější než Lagrangeova rovnice, která je limitním případem pro speciální volbu Hamiltonovy funkce. Hamiltonova-Jacobiho rovnice se používá v kvantové mechanice a dalších oblastech fyziky a její řešení poskytuje informace o trajektoriích částic a vlastnostech systémů. Rovnice je založena na principu akce, což je diferenciální rovnice popisující trajektorii částice a její vzdálenost od zvoleného referenčního bodu v prostoru. Hamiltonova rovnice je nezávislá na čase, což umožňuje pevnou formulaci mechaniky a objasňuje symetrie systému. Rovnice je založena na hamiltoniánu, který je funkce v generalizovaných souřadnicích a impulsech, a Hamiltonovy-Jacobiho rovnice popisuje vztah mezi hamiltoniánem a akčním integrálem částice v různých bodech času. Rozvoj Hamiltonovy-Jacobiho rovnice vedl k dalším objevům v oblastech matematické fyziky a teoretické mechaniky. Její aplikace zahrnují oblasti jako jsou optika, geometrie, integrování diferenciálních rovnic a teorie pole. Rovnice poskytuje přesná řešení pro širokou škálu fyzikálních systémů a hraje klíčovou roli v moderní fyzice.
Hamiltonova-Jacobiho rovnice je rovnice, která představuje netradiční formulaci klasické mechaniky pouze pomocí jedné nelineární parciální diferenciální rovnice pro akci. Tato formulace není příliš vhodná pro počítání jednoduchých mechanických úloh, naproti tomu představuje formulaci, která umožňuje dobrý limitní přechod mezi mechanikou klasickou a kvantovou.
Známe-li hamiltonián systému, jako funkci zobecněných poloh a hybností, pak má Hamiltonova-Jacobiho rovnice tvar:
H\left(q_1,q_2,\cdots, q_n, \frac{\partial S}{\partial q_1},\frac{\partial S}{\partial q_2},\cdots,\frac{\partial S}{\partial q_n}\right)+\frac{\partial S}{\partial t}=0
Jedná se tedy o nelineární parciální diferenciální rovnici pro akci S, která je funkcí proměnných q_1,q_2,\cdots, q_n, tj. zobecněných souřadnic.
Nalezené řešení S(q_1,q_2,\cdots, q_n,\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,t) obsahuje mimo souřadnic taktéž n integračních konstant \alpha_i. Vlastní pohyb soustavy je pak určen rovnicemi
\frac{\partial S}{\partial \alpha_i}=\beta_i,
což je soustava n rovnic pro n neznámých souřadnic. Z těchto rovnic jsme principiálně schopni vyjádřit vývoj jednotlivých souřadnic s časem, Integrační konstanty \alpha_i, \beta_i souvisejí s počáteční polohou a hybností soustavy, existuje zde tedy 2n stupňů volnosti.