Hertzův tlak

Schema Hertzova modelu styčného tlaku Hertzův tlak (neboli styčný tlak ev. kontaktní pnutí) je tlak, který vzniká v místě vzájemného silového působení dvou těles s definovaným zakřivením povrchu. Svůj název nese po německém fyzikovi Heinrichu Hertzovi, který řešení této úlohy (formulované jako tzv. Hertzův model) publikoval v roce 1882.

Hertzův model

Hertzův model je založen na těchto předpokladech: * Rozměr stykové plošky je podstatně menší než poloměry křivosti dotýkajících se těles * Všechna vzniklá napětí jsou menší, než meze pružnosti těles * Na stykové ploše je nulové tření i adheze

Výpočet

V obecném zadání figurují parametry dotýkajících se těles (těleso 1 a těleso 2): * hlavní křivosti - menší k_a a větší k_b (kde k = \frac {1} {r} ), což jsou navzájem kolmé největší a nejmenší křivosti ve stykovém bodě. U těles vydutých (střed křivosti plochy leží mimo těleso) má křivost zápornou hodnotu -k . +more * úhel natočení - \phi úhel mezi rovinami křivosti k_{1a} a k_{2a} Pokud je jedním z těles koule, pak je k_a = k_b = k a \phi = 0 * moduly pružnosti materiálů těles - E_1 a E_2 * Poissonova čísla materiálů těles - \nu_1 a \nu_2.

Obecné řešení

Odvození velikosti tlaku ve styčné ploše vychází z deformačních podmínek tuhých těles, kdy se nejprve stanoví velikost a tvar stykové plochy, jimž je obecně elipsa. Průběh tlaku na stykové ploše je parabolický (pokud nepřekročí mez pružnosti jednoho z materiálů), což vychází z průběhu deformace radiusu povrchu. +more Maximální tlak vyvozený silou F se nachází uprostřed dotykové elipsy a má velikost :::: p_{\mathrm{max}} = 1,5 \cdot \frac {F} {\pi a b} , kde a a b jsou rozměry poloos dotykové elipsy: ::: a = \alpha \cdot \sqrt[3] {\frac {F m}{n}} b = \beta \cdot \sqrt[3] {\frac {F m}{n}} ::::V těchto formulích je hodnota činitelů m = \frac {4}{k_{1a} + k_{1b} + k_{2a} + k_{2b}} n = \frac {4} {3} \cdot \frac {E} {(1 - \nu^2)} pro E_1 = E_2 = E a \nu_1 = \nu_2 = \nu :::: Konstanty \alpha a \beta jsou definovány v tabulce podle úhlového parametru \theta , který se vypočte jako \theta = \operatorname{arccos} \left( \frac {m} {4} \cdot \sqrt {(k_{1a} - k_{1b})^2 + (k_{2a} - k_{2b})^2 + 2 \cdot (k_{1a} - k_{1b}) \cdot (k_{2a} - k_{2b}) \cdot \cos {2 \phi}} \right) .

::

Případy se zcela obecným zadáním jsou v praxi velice ojedinělé a přibližuje se k nim například odvalování kuličky v rádiusové drážce valivého ložiska.

Typické případy

V typických případech figurují obvykle koule, válec a rovina. Pro zjednodušení lze brát \nu_1 = \nu_2 = 0,3

koule - koule

V tomto případě je styková plocha kruhová ( r_{1a} = r_{1b} = \frac {d_1}{2} a r_{2a} = r_{2b} = \frac {d_2}{2} ) a její poloměr je a = 0,7 \cdot \sqrt[3] {F \cdot \frac {\frac {1}{E_1} + \frac {1}{E_2}} {\frac {1}{d_1} + \frac {1}{d_2}}}

Maximální tlak pak je: p_{\mathrm{max}} = 1,5 \cdot \frac {F} {\pi a^2} Přiblížení středů koulí je \delta = 0,97 \cdot \sqrt[3] {F^2 \cdot \left( \frac {1}{E_1} + \frac {1}{E_2} \right)^2 \cdot \left( \frac {1}{d_1} + \frac {1}{d_2} \right)} ----

koule - rovina

Rovina je v podstatě koule o nekonečném poloměru, tudíž \frac {1} {d_2} = 0 a pak je poloměr stykové plochy a = 0,7 \cdot \sqrt[3] {F \cdot \frac {\frac {1}{E_1} + \frac {1}{E_2}} {\frac {1}{d_1}}}

Maximální tlak pak je: p_{\mathrm{max}} = 1,5 \cdot \frac {F} {\pi a^2}

V případě shodných materiálů koule i podložky ( E_1 = E_2 = E) dostaneme vztahy:

: a = 0,88 \cdot \sqrt[3] \frac {F d} {E} ; p_{\mathrm{max}} = 0,62 \cdot \sqrt[3] \frac {F E^2} {d^2} ; \delta = 1,54 \cdot \sqrt[3] \frac {F^2} {E^2 d}

Pro kalenou ocelovou kouli na kalené ocelové rovině lze použít pro určení dovolené zátěže při maximálním dovoleném tlaku p_{\mathrm{max}} = 3700 MPa přibližný vzoreček: F_{dov} = 500 \cdot d^2 pro F v [N] a d v [cm]. ----

rovnoběžné válce

Styková plocha má tvar obdélníka o šířce b, takže :: b = 1,52 \cdot \sqrt {q \cdot \frac {\frac {1}{E_1} + \frac {1}{E_2}} {\frac {1}{d_1} + \frac {1}{d_2}}} , kde q = \frac {F} {l} je zatížení vztažené na jednotku délky Maximální tlak pak je: p_{\mathrm{max}} = \frac {4 q} {\pi b} ----

válec - rovina

V tomto případě platí b = 1,52 \cdot \sqrt {q \cdot \frac {\frac {1}{E_1} + \frac {1}{E_2}} {\frac {1}{d_1}}}

Maximální tlak pak je: p_{\mathrm{max}} = \frac {4 q} {\pi b}

V případě shodných materiálů válce i podložky ( E_1 = E_2 = E) dostaneme vztahy:

: b = 2,15 \cdot \sqrt \frac {q d} {E} ; p_{\mathrm{max}} = 0,591 \cdot \sqrt \frac {q E} {d} ; \delta = 0,58 \cdot \frac {q} {E} \cdot \left( \frac {1} {3} + \ln \frac {2 d} {b} \right)

Při předběžném návrhu mostních ložisek lze použít zjednodušený vzoreček q = 500 \cdot d pro q v [N/cm] a d v [cm].

Odlišné vzorce

V literatuře se vyskytují i poněkud odlišné vzorce. Je to jednak použitím jiné úpravy konstant a jednak použitím tzv. +more redukovaného modulu pružnosti \frac{1} {E_{red}} = \frac{1-{\nu}_1^2} {E_1} + \frac{1-{\nu}_2^2} {E_2} a tzv. ekvivalentního rádiusu \frac{1} {r_e} = \frac{1} {r_1} + \frac{1} {r_2}.

Jiné modely kontaktního pnutí

Zohledňují vliv adheze: * Bradleyův model * Model pružného kontaktu Johnson-Kendall-Roberts (JKR) * Model pružného kontaktu Derjaguin-Muller-Toporov (DMT) * Taborův parametr - spojuje modely JKR a DMT * Model pružného kontaktu Maugis-Dugdale * Model Carpick-Ogletree-Salmeron (COS) - dle odstavce „Adhesive contact between elastic bodies“ v článku „Contact mechanics“ na anglické Wikipedii

Reference

Kategorie:Fyzikální jevy Kategorie:Mechanika pružnosti a pevnosti