Hyperbolický kosinus

Graf hyperbolického kosinu Hyperbolický kosinus je sudá hyperbolická funkce.

Definice

\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}

Vlastnosti

D\bigl(\cosh x\bigr)= \mathbb{R} - definiční obor funkce \cosh x

H\Bigl(\cosh x\Bigr)=\langle1,\infty\bigr) - obor hodnot funkce \cosh x

\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1

důkaz tohoto tvrzení \left ( \frac{e^x + e^{-x}}{2} \right )^2 - \left ( \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right )^2 = \frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4} - \frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4} = \frac{4}{4} = 1, kde e je Eulerovo číslo

1 - \tanh^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}, kde \tanh x je hyperbolický tangens

\cosh 0 = 1

\cosh x = \cos(ix) = \cos(-ix), kde i je imaginární jednotka

(\cosh x)' = \sinh x derivace hyperbolického kosinu podle x, kde \sinh x je hyperbolický sinus

\int \cosh x \ dx = \sinh x + C, kde C je integrační konstanta

\cosh x = \sum_{k=0}^\infty\frac{x^{2k}}{(2k)!}

Inverzní funkcí k hyperbolickému kosinu je hyperbolometrická funkce \operatorname{argcosh}\,x (argument hyperbolického kosinu).

Graf

Pro x je \cosh x klesající a pro x>0 rostoucí.

Grafem hyperbolického kosinu je křivka známá jako řetězovka.

Kategorie:Hyperbolické funkce