Hölderova podmínka

Technology

12 hours ago

Author

Hölderova podmínka, je matematická podmínka, která se používá při analýze spojitých funkcí. Tato podmínka byla formulována matematikem Oskarem Hölderem a slouží k určení míry spojitosti a hladkosti dané funkce. Hölderova podmínka udává, jak se chová hodnota funkce v blízkosti daného bodu a srovnává tuto hodnotu se sklonem funkce na daném úseku. Podmínka stanovuje, že pokud existují dvě kladná konstanty a exponent, takže absolutní hodnota rozdílu mezi hodnotami funkce v dvou bodech je menší nebo rovna konstantě násobené mocninou absolutní hodnoty rozdílu mezi těmito body umocněné na exponent, pak je funkce splňuje Hölderovu podmínku. Tato podmínka má různé varianty, které se liší hodnotou exponentu. Pokud je exponent roven jedné, pak jde o Lipschitzovu podmínku. Vyšší hodnota exponentu značí, že funkce je hladší. Hölderova podmínka je důležitým nástrojem při studiu diferenciálního počtu a je využívána v různých oborech matematiky, například v teorii pravděpodobnosti, analýze obrazu a numerické matematice.

Hölderova podmínka je podmínka týkající se funkcí. Hölderova podmínka je jedním z kritérií stejnoměrné spojitosti a objevuje se v podmínkách mnoha matematických vět z oblasti matematické analýzy.

Formulace podmínky

Nechť I\subseteq \mathbb{R}. Jestliže pro funkci f:I\rightarrow \mathbb{R} existují konstanty L\geqslant0 a \lambda\in(0,1\rangle takové, že pro každé x, y \in I platí : \left|f(x)-f(y)\right|\leqslant L\left|x-y\right|^{\lambda} říkáme, že funkce f\; je hölderovská (nebo že splňuje Hölderovu podmínku) s konstantou L\; a exponentem \lambda\;, nebo že je λ-hölderovská.

Funkce splňující Hölderovu podmínku je stejnoměrně spojitá na I\;.

Pro \lambda=1\; nazýváme Hölderovu podmínku Lipschitzovou podmínkou.