Jonedovo lemma

V matematice je Jonedovo lemma pravděpodobně nejdůležitějším výsledkem v teorii kategorií. Je to abstraktní tvrzení o funktorech druhu morfismy do daného objektu. Jde o značné zobecnění Cayleyho věty z teorie grup (pokud se grupa vezme jako miniaturní kategorie pouze s jedním objektem a pouze isomorfismy). Umožňuje vnoření libovolné kategorie do kategorie funktorů (kontravariantních funktorů nad množinami) definovaných nad touto kategorií. Také objasňuje, jak se vnořená kategorie reprezentovatelných funktorů a jejich přirozených transformací chová ve vztahu k ostatním objektům v celé kategorii funktorů. Jde o důležitý nástroj, který stojí za mnoha moderními výsledky v algebraické geometrii a teorii reprezentace. Je pojmenováno po Nobuovi Yonedovi.

Obecniny

Jonedovo lemma naznačuje, že místo zkoumání (lokálně malé) kategorie \mathcal{C} by se měla studovat kategorie všech funktorů z \mathcal{C} do \mathbf{Set} (kategorie množin s funkcemi jako svými morfismy). \mathbf{Set} je považována za veskrze dobře pochopenou kategorii a funktor z \mathcal{C} do \mathbf{Set} může být nahlížen jako "reprezentace" \mathcal{C} pomocí známých struktur. +more Původní kategorie \mathcal{C} je v této kategorii obsažena, ale spolu s ní se zde objevují nové objekty, které v \mathcal{C} chyběly či byly "skryty". Práce s těmito objekty často sjednocuje a zjednodušuje postup.

Tento přístup je podobný (a ve skutečnosti je zobecněním) běžnému způsobu studia okruhu zkoumáním jeho modulů. Okruh nahradí kategorii \mathcal{C} a kategorie modulů nad tímto okruhem je kategorií funktorů definovaných na \mathcal{C} .

Formální znění

Jonedovo lemma se týká funktorů z dané kategorie \mathcal{C} do kategorie množin, \mathbf{Set} . Je-li \mathcal{C} lokálně malá kategorie (tj. +more hom-sady jsou skutečně množiny, nikoliv vlastní třídy), pak každý objekt A z \mathcal{C} dává vzniknout přirozenému funktoru do \mathbf{Set} , zvanému hom-funktor. Tento funktor se značí:.

: h^A = \mathrm{Hom}(A,-) .

Tento (kovariantní) hom-funktor h^A zobrazí X do množiny morfismů \mathrm{Hom}(A,X) a morfismus f \colon X \to Y na morfismus f \circ - (složení s f vlevo), který zobrazuje morfismus g v \mathrm{Hom}(A,X) na morfismus f \circ g v \mathrm{Hom}(A,Y) . Konkrétně,

: h^A(f) = \mathrm{Hom}(A,f) \mbox{, neboli} : h^A(f)(g) = f \circ g .

Nechť je F libovolný funktor z \mathcal{C} do \mathbf{Set} . Pak Jonedovo lemma říká, že: {{Citát v rámečku|Pro každý objekt A z \mathcal{C} jsou přirozené transformace \operatorname{Nat}\left( h^A, F \right) \equiv \operatorname{Hom}\left( \operatorname{Hom}\left( A, - \right), F \right) z h^A do F ve vzájemně jednoznačné korespondenci s prvky F(A) , tedy:

\operatorname{Hom}\left( \operatorname{Hom}\left( A, - \right), F \right) \cong F(A) .

Tento isomorfismus je navíc přirozený v A i F , pokud obě strany vezmeme jako funktory z \mathcal{C} \times \textbf{Set}^\mathcal{C} do \textbf{Set} .|}} Zde zápis \mathbf{Set}^\mathcal{C} označuje kategorii funktorů z \mathcal{C} do \mathbf{Set} .

Máme-li přirozenou transformaci \Phi z h^A do F , odpovídající prvek F(A) je u = \Phi_A(\mathrm{id}_A) ;{{Poznámka|Vzpomeňme, že \Phi_A : \mathrm{Hom}(A,A) \to F(A) , takže je onen poslední výraz dobře definován a zobrazuje morfismus z A do A na nějaký prvek z F(A) .}} dále máme-li prvek u z F(A) , odpovídající přirozenou transformaci dostaneme z \Phi(f) = F(f)(u) .

Kontravariantní verze

Existuje kontravariantní verze Jonedova lemmatu, která se týká kontravariantních funktorů z \mathcal{C} do \mathbf{Set} . Tato verze zahrnuje kontravariantní hom-funktor

: h_A = \mathrm{Hom}(-, A),

který zobrazuje X na hom-sadu \mathrm{Hom}(X,A) . Pro libovolný kontravariantní funktor G z \mathcal{C} do \mathbf{Set} Jonedovo lemma říká, že

: \mathrm{Nat}(h_A,G) \cong G(A).

Ustálené názvosloví

Použití h^A pro kovariantní hom-funktor a h_A pro kontravariantní hom-funktor není zcela standardní. Mnoho textů a článků používá přesně opačné značení nebo úplně jiné symboly. +more Poslední moderní texty algebraické geometrie počínaje zakladatelskou EGA Alexandra Grothendiecka ovšem používají stejnou konvenci jako tento článek.

Mnemotechnické "padání do něčeho" může být užitečné při pamatování si, že h_A je kontravariantní hom-funktor. Když písmeno A klesá (je dolní index), h_A přiřadí k objektu X morfismy z X do A .

Důkaz

Důkaz Jonedova lemmatu je vystižen následujícím komutativním diagramem: Důkaz Jonedova lemmatu Tento diagram ukazuje, že přirozená transformace \Phi je zcela určena \Phi_A(\mathrm{id}_A)=u, protože pro každý morfismus f \colon A \to X máme

: \Phi_X(f) = (Ff)u .

Navíc jakýkoli prvek u \in F(A) tímto způsobem definuje přirozenou transformaci. Důkaz v kontravariantním případě je zcela analogický.

Jonedovo vnoření

Důležitým zvláštním případem Jonedova lemmatu je, když je funktor F z \mathcal{C} do \mathbf{Set} dalším hom-funktorem h^B . V tomto případě kovariantní verze Jonedova lemmatu říká, že

: \mathrm{Nat}(h^A,h^B) \cong \mathrm{Hom}(B,A).

Tedy že přirozené transformace mezi hom-funktory jsou ve vzájemně jednoznačné korespondenci s morfismy (v opačném směru) mezi přidruženými objekty. Máme-li morfismus f \colon B \to A , přidružená přirozená transformace se značí \mathrm{Hom}(f,-) .

Pokud zobrazíme každý objekt A v \mathcal{C} na přidružený hom-funktor h^A = \mathrm{Hom}(A,-) a každý morfismus f \colon B \to A na odpovídající přirozenou transformaci \mathrm{Hom}(f,-) , určíme tím kontravariantní funktor h^- z \mathcal{C} do \mathbf{Set}^\mathcal{C} , kategorie funktorů všech (kovariantních) funktorů z \mathcal{C} do \mathbf{Set} . h^- se dá interpretovat jako kovariantní funktor :

: h^{-}\colon \mathcal{C}^{\text{op}} \to \mathbf{Set}^\mathcal{C}.

Význam Jonedova lemmatu za těchto okolností je, že funktor h^- je plně věrný, a proto určuje vnoření \mathcal{C}^{\mathrm{op}} do kategorie funktorů do \mathbf{Set} . Sada všech funktorů \{h^A | A \in C\} je podkategorií \mathbf{Set}^{\mathcal{C}} . +more Z Jonedova vnoření tedy vyplývá, že kategorie \mathcal{C}^{\mathrm{op}} je izomorfní ke kategorii \{h^A | A \in C \} .

Kontravariantní verze Jonedova lemmatu říká, že

: \mathrm{Nat}(h_A,h_B) \cong \mathrm{Hom}(A,B).

Proto h_- dává vzniknout kovariantnímu funktoru z \mathcal{C} do kategorie kontravariantních funktorů do \mathbf{Set} :

: h_{-}\colon \mathcal{C} \to \mathbf{Set}^{\mathcal{C}^{\mathrm{op}}}.

Jonedovo lemma pak říká, že každá lokálně malá kategorie \mathcal{C} může být vnořena do kategorie kontravariantních funktorů z \mathcal{C} do \mathbf{Set} skrz h_- . Tomuto se říká Jonedovo vnoření.

Jonedovo vnoření je někdy označováno znakem よ, což je kana v rámci písma Hiragana, Jo.

Reprezentovatelný funktor

Jonedovo vnoření v zásadě uvádí, že pro každou (lokálně malou) kategorii mohou být objekty v této kategorii reprezentovány pomocí předsvazků, a to plně a věrně. Jinými slovy,

: \mathrm{Nat}(h_A,P) \cong P(A).

pro nějaký předsvazek P. Mnoho běžných kategorií jsou ve skutečnosti předsvazky, ba po důkladnějším prozkoumání dokonce svazky, a jelikož takové případy mají obvykle topologickou povahu, lze je obecně považovat za toposy. +more Jonedovo lemma pak představuje nástroj, pomocí něhož lze topologickou strukturu kategorií zkoumat.

Z hlediska (ko)koncového kalkulu

Pro dvě kategorie \mathbf{C} a \mathbf{D} se dvěma funktory F, G : \mathbf{C} \to \mathbf{D} lze přirozené transformace mezi nimi zapsat jako následující konec:

: \mathrm{Nat}(F, G) = \int_{c \in \mathbf{C}} \mathrm{D}(Fc, Gc)

Pro všechny funktory K \colon \mathbf{C}^{op} \to \mathbf{Sets} a H \colon \mathbf{C} \to \mathbf{Sets} jsou následující vzorce jiná znění Jonedova lemmatu.

: K \cong \int^{c \in \mathbf{C}} Kc \times \mathbf{C}(-,c), \qquad K \cong \int_{c \in \mathbf{C}} Kc^{\mathbf{C}(c,-)},

: H \cong \int^{c \in \mathbf{C}} Hc \times \mathbf{C}(c,-), \qquad H \cong \int_{c \in \mathbf{C}} Hc^{\mathbf{C}(-,c)}.

Preaditivní kategorie, okruhy a moduly

Preaditivní kategorie je kategorie, v které sady morfismů tvoří abelovské grupy a skládání morfismů je bilineární; příkladem jsou kategorie abelovských grup nebo modulů. V preaditivní kategorii existuje jak „násobení“, tak „sčítání“ morfismů, a proto jsou preaditivní kategorie vnímány jako zobecnění okruhů. +more Okruhy jsou preaditivní kategorie s jedním objektem.

Jonedovo lemma je pravdivé i pro preaditivní kategorie, pokud si jako rozšíření zvolíme kategorii aditivních kontravariantních funktorů z původní kategorie do kategorie abelovských grup. Jedná se o funktory, které jsou kompatibilní se sčítáním morfismů, a lze je brát jako základ kategorie modulů nad původní kategorií. +more Jonedovo lemma pak poskytuje přirozený recept jak zvětšit preaditivní kategorii tak, aby tato zvětšená verze zůstala preaditivní - ve skutečnosti je zvětšená verze abelovskou kategorií, což je mnohem silnější vlastnost. V případě okruhu R je rozšířená kategorie kategorií všech pravých R-modulů a znění Jonedova lemmatu se redukuje na známý isomorfismus:.

: M \cong \mathrm{Hom}_R(R,M) pro všechny pravé R-moduly M.

Vztah ke Cayleyově větě

Jak bylo uvedeno výše, Jonedovo lemma může být považováno za značné zobecnění Cayleyovy věty z teorie grup. Aby to bylo zřejmé, nechť je \mathcal{C} kategorie s jediným objektem * s tím, že každý morfismus je izomorfismus (tj. +more grupoid s jediným objektem). Pak G=\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(*,*) tvoří grupu pod operací skládání a jakoukoli grupu lze tímto způsobem realizovat jako kategorii.

V tomto kontextu kovariantní funktor \mathcal{C} \to \mathbf{Set} sestává z množiny X a grupového homomorfismu G\to\mathrm{S}_

X

, kde \mathrm{S}_[wiki_table=032faf86] je grupa permutací X; čili X je G-sada . Přirozená transformace mezi takovými funktory je to samé jako ekvivariantní zobrazení mezi G-sadami: množinová funkce \alpha \colon X \to Y s tou vlastností, že \alpha(g\cdot x)=g\cdot\alpha(x) pro všechna g v G a x v X. +more (Na levé straně rovnice \cdot označuje akci G na X a na pravé straně akci na Y. ).

Nyní, kovariantní hom-funktor \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(*,-) odpovídá akci G na sobě samé podle násobení vlevo (kontravariantní verze odpovídá násobení vpravo). Jonedovo lemma pro F=\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(*,-) říká, že

: \mathrm{Nat}(\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(*,-),\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(*,-)) \cong \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(*,*) ,

to jest, ekvivariantní zobrazení z této G-sady na sebe jsou v bijekci s G. Jde si však povšimnout, že a) tyto mapy tvoří grupu podle skládání, což je podgrupa \mathrm{S}_

G

a b) funkce, která tuto bijekci určuje, je grupový homomorfismus. +more (V opačném směru každé g v G odpovídá ekvivariantnímu zobrazení násobení vpravo podle g. ) Takže G je izomorfní k nějaké podgrupě \mathrm{S}_[wiki_table=a1605ba6], což je přesné znění Cayleyovy věty.

Historie

Jošiki Kinošita v roce 1996 řekl, že termín “Jonedovo lemma” byl vytvořen Saundersem Mac Lanem po jeho rozhovoru s Jonedou.

Související články

Reprezentační věta

Poznámky

Reference

[url=https://ncatlab.org/nlab/show/Yoneda+lemma]Yoneda lemma[/url] na [url=https://ncatlab.org/]nLab[/url]

Externí odkazy

Důkaz v [url=://www.mizar.org/JFM/pdf/yoneda_1.pdf

[[Kategorie:Teorie kategorií][Mizarský systém|systému Mizar]]:[/url]] Kategorie:Matematické věty a důkazy