Cesko.wiki Kardinální aritmetika
Author
Albert FloresKardinální aritmetika je součást teorie množin, která definuje operace kardinálního součtu, kardinálního součinu a kardinální mocniny jako rozšíření běžných aritmetických operací s přirozenými čísly na všechna kardinální čísla a zabývá se jejich vlastnostmi především na nekonečných množinách.
Definice kardinálního součtu a součinu
Jsou-li \lambda, \mu \,\! dvě kardinální čísla, pak definujeme jejich kardinální součet a kardinální součin vztahy:
* \lambda + \mu = | (\{ 0 \} \times \lambda) \cup (\{ 1 \} \times \mu) | \,\! * \lambda . \mu = | \mu \times \lambda | \,\!
Lidsky řečeno:
Kardinálním součtem dvou kardinálů je mohutnost jejich sjednocení, ve kterém si pomocí operace kartézského součinu s jednoprvkovou množinou zajistím jejich disjunktnost. Kardinálním součinem dvou kardinálů je mohutnost jejich kartézského součinu.
Vlastnosti kardinálního součtu a součinu
Vztah kardinálních a ordinálních operací
Zápis kardinálního součtu a součinu se nápadně podobá definici ordinálního součtu a ordinálního součinu (viz článek Ordinální aritmetika). Rozdíl je v tom, že u ordinálních operací se zajímám o typ dobrého uspořádání výsledné množiny - a dostávám tedy ze dvou ordinálních čísel opět ordinální číslo, zatímco u kardinálních operací se zajímám o mohutnost výsledné množiny - a dostávám tedy ze dvou kardinálních čísel opět kardinální číslo.
Protože každé kardinální číslo je zároveň ordinálním číslem, je třeba mezi oběma sadami operací rozlišovat, neboť výsledky se mohou lišit - shodují se pouze na konečných množinách.
Snadno se můžeme přesvědčit, že následující vztahy platí pro kardinální i pro ordinální operace stejně (stačí si dosadit použité množiny do definice součtu a součinu):
* 3 + 7 = 10 \,\! * 3 . 7 = 21 \,\! * 1 + \omega = \omega \,\! * 3 . \omega = \omega \,\!
Existují ale poměrně jednoduché příklady, kde se ordinální a kardinální operace neshodují:
* \omega + 7 > \omega \,\. pro ordinální součet, ale * \omega + 7 = \omega \,\. +more pro kardinální součet. * \omega . \omega > \omega \,\. pro ordinální součin, ale * \omega . \omega = \omega \,\. pro kardinální součin.
Trivialita kardinálního součtu a součinu
Kardinální součet a součin jsou poměrně triviální a nezajímavé (z pohledu teorie množin) operace. Jejich vlastnosti se dají shrnout do dvou řádků:
* pro dva konečné kardinály (tj. pro přirozená čísla) odpovídají kardinální součet a součin běžně používaným operacím součtu a součinu * pokud je alespoň jeden ze sčítanců (resp. +more jeden z činitelů) nekonečný je hodnota součtu i součinu rovna maximu z obou sčítanců (resp. činitelů): \lambda . \mu = \lambda + \mu = \max(\lambda, \mu) \,\. .
Pokud použiji zápis nekonečných kardinálů pomocí funkce alef, dostávám tvrzení
* ( \forall \alpha, \beta \isin On)( \aleph_{\alpha} . \aleph_{\beta} = \aleph_{\alpha} + \aleph_{\beta} = \max(\aleph_{\alpha}, \aleph_{\beta})) \,\!
Definice kardinální mocniny
Jsou-li \lambda, \mu \,\. dvě kardinální čísla, pak definujeme jejich kardinální mocninu \lambda^{\mu} \,\. +more jako mohutnost množiny všech zobrazení množiny \mu \,\. do množiny \lambda \,\. .
Základní vlastnosti kardinální mocniny
Kardinální mocnina má podobné základní vlastnosti jako běžná mocnina na přirozených číslech nebo ordinální mocnina: * 0^0 = 1 \,\. * 0^{\lambda} = 0 \,\. +more pro \lambda > 0 \,\. * \lambda^0 = 1 \,\. * 1^{\lambda} = 1 \,\. * \lambda^{\mu_1 + \mu_2} = \lambda^{\mu_1}. \lambda^{\mu_2} \,\. * (\lambda^{\mu_1})^{\mu_2} = \lambda^{\mu_1. \mu_2} \,\. .
Stejně jako součet a součin, i mocnina se na oboru nekonečných kardinálů začíná podstatně lišit od ordinální mocniny: * {\lambda}^{\mu} = \lambda \,\. pro \lambda \,\. +more nekonečné a \mu \,\. konečné * {\lambda}^{\mu} = 2^{\mu} \,\. pro \mu \,\. nekonečné a 2 \leq \lambda \leq \mu \,\. .
První z těchto dvou vztahů nám říká, že konečné exponenty pro nekonečný základ nejsou zajímavé, neboť dostanu opět původní číslo.
Pokud do druhého vzorce dosadím \lambda = \omega \,\! a \mu = \omega \,\! , dostávám výsledek
\omega^{\omega} = 2^{\omega} \,\! ,
což znamená, že všech zobrazení z přirozených čísel do přirozených čísel je stejně jako zobrazení přirozených čísel do množiny \{ 0,1 \} \,\. - a to je vlastně totéž, jako potenční množina \mathbb{P}(\omega) \,\. +more .
Dá se ukázat, že \mathbb{P}(\omega) \,\. má stejnou mohutnost jako množina \mathbb{R} \,\. +more všech reálných čísel, tj. | \mathbb{P}(\omega)| = | \mathbb{R} | = 2^{\omega} \,\. - proto je tato mohutnost obvykle označována jako mohutnost kontinua.
Co víme o kardinálních mocninách čísla 2
Nabízí se zdánlivě jednoduchá otázka: který kardinál je mohutnost kontinua, tj. (přeloženo do značení pomocí funkce alef, kde \omega = \aleph_0 ) pro které \alpha \,\. +more platí.
\aleph_{\alpha} = 2^{\aleph_0} ?
Tato zdánlivě jednoduchá otázka nemá z běžných axiomů teorie množin (ZF) odpověď. Jednu z možných odpovědí dává hypotéza kontinua: 2^{\aleph_0} = \aleph_1 , což je intuitivně asi nejpřijatelnější. +more Tato hypotéza se nedá dokázat ani vyvrátit z axiomů teorie množin, je na nich nezávislá. Stejně tak je nezávislá i hypotéza 2^{\aleph_0} = \aleph_2 nebo 2^{\aleph_0} = \aleph_{137} .
Jediné, co lze spolehlivě zjistit z axiomů teorie množin o průběhu funkce 2^{\aleph_{\alpha}} jsou následující tři údaje: # \alpha \leq \beta \implies 2^{\aleph_{\alpha}} \leq 2^{\aleph_{\beta}} # \aleph_{\alpha} # \aleph_{\alpha} , kde cf(\lambda) \,\. je kofinál kardinálu kde \lambda \,\. +more .
Zobecněním hypotézy kontinua získáváme lepší představu o tom, jak se chovají kardinální mocniny čísla 2 pro všechny kardinály:
2^{\aleph_{\alpha}} = \aleph_{\alpha + 1} pro každý ordinál \alpha \,\!
I tato hypotéza je však nezávislá na axiomech teorie množin. Nezávislé je dokonce i tvrzení, které vypadá na první pohled velice podezřele:
Kterýkoliv regulární kardinál může být první, na kterém bude porušena zobecněná hypotéza kontinua.
Například tedy můžeme klidně tvrdit, že * 2^{\aleph_0} = \aleph_1 * 2^{\aleph_1} = \aleph_2 * 2^{\aleph_2} = \aleph_3 * 2^{\aleph_3} = \aleph_4 ale * 2^{\aleph_4} = \aleph_{100}
Takováto „hypotéza“ je opět nezávislá na axiomech teorie množin - udivující v tomto případě je především to, že ji nelze vyvrátit.