Konvexní obal

Technology

12 hours ago

Author

Podobně jako je lineární obal definován pro lineární kombinace jisté množiny vektorů, lze ve vektorových prostorech definovat i obaly vektorů ve vztahu ke konvexním kombinacím.

Definice

Mějme \scriptstyle V vektorový prostor nad tělesem \scriptstyle T a \scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n množinu vektorů z \scriptstyle V. Množinu všech konvexních kombinací této sady vektorů nazýváme konvexní obal vektorů \scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n (angl. +more convex span, convex hull či convex envelope). Někdy se konvexní obal zmíněných vektorů značí jako \scriptstyle [ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n ]_\kappa. V matematické symbolice tedy : [ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n ]_\kappa \equiv \left\{ \sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{x}_i \Bigg| (\forall i \in \hat{n})(\alpha_i \in T \wedge \alpha_i \geq 0) \wedge \sum_{i=1}^n \alpha_i = 1 \right\}, kde \scriptstyle \hat{n} \equiv \{ 1, \ldots, n\}.

Vlastnosti

Mějme vektorový prostor \scriptstyle V nad tělesem \scriptstyle T. Pro konvexní obaly vektorů z \scriptstyle V lze odvodit mimo jiné následující vlastnosti (\scriptstyle \hat{n} \equiv \{ 1, \ldots, n \}).

* Konvexní obal daných vektorů obsahuje i tyto vektory samotné. Neboli : (\forall n \in \mathbb{N})(\forall i \in \hat{n})(\vec{x}_i \in [\vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n ]_\kappa)

:Důkaz: Doplnit...

* Konvexní obal je skutečně konvexní množina.

:Důkaz: Doplnit...

* Konvexní obal daných vektorů je nejmenší konvexní podmnožina vektorového prostoru obsahující tyto vektory, tj. : [\vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n]_\kappa = \bigcap_{K \ \text{je konvexní}, \ K \subset V, \ \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n \} \subset K} K

:Důkaz: Doplnit...