Kritéria konvergence řad

Kritéria konvergence jsou v matematice metody testování konvergence, podmíněné konvergence, absolutní konvergence, intervalové konvergence nebo divergence nekonečných řad \sum_{n=1}^\infty a_n.

Kritéria konvergence

Určení součtu řady a tedy rozhodnutí o konvergenci nebo divergenci bývá často poměrně složité. V mnoha případech je postačující nahradit součet nekonečné řady s \, jejím n \,-tým částečným součtem s_n \,. +more U konvergentních řad se chyba |s_n-s| \,, které se touto náhradou dopouštíme, s rostoucím n \, zmenšuje. U divergentních řad tomu tak ale není. Je tedy důležité umět rozhodnout o konvergenci nebo divergenci dané řady, aniž bychom získali součet řady.

K tomuto účelu můžeme použít buď přímo podmínky konvergence řad, nebo tzv. kritéria konvergence řad.

Kritéria konvergence řad ulehčují rozhodnutí o konvergenci (nebo divergenci) nekonečné řady. Kritérií pro určování konvergence existuje celá řada, přičemž každý řešený případ je nutno posuzovat zvlášť a zvolit vhodné kritérium.

Srovnávací kritérium

Při srovnávacím (porovnávacím) kritériu uvažujeme dvě řady s nezápornými členy \sum a_n, \sum b_n, přičemž pro všechna n \, platí 0\leq a_n \leq b_n \,. Řadu \sum a_n označujeme jako minorantní řadu (minorantu) k řadě \sum b_n a řadu \sum b_n jako majorantní řadu (majorantu) k řadě \sum a_n. +more Potom platí, že pokud konverguje majoranta, tzn. \sum b_n, konverguje také minoranta, tedy \sum a_n. Diverguje-li minoranta \sum a_n, diverguje také majoranta, tedy \sum b_n.

Podílové kritérium

Při podílovém kritériu konverguje řada s kladnými členy \sum a_n tehdy, existuje-li reálné číslo 0 takové, že pro každé n platí \frac{a_{n+1}}{a_n}\leq q. Pokud je \frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1, pak řada diverguje.

Limitní podílové kritérium

Zavedeme-li pro řadu s kladnými členy \sum a_n veličinu L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}, pak dostáváme tzv. limitní podílové kritérium konvergence, podle kterého je řada \sum a_n konvergentní pro L, divergentní pro L>1 \, a pro L=1 \, může být konvergentní nebo divergentní.

Odmocninové kritérium

Při odmocninovém (Cauchyově) kritériu uvažujeme, že řada s kladnými členy \sum a_n konverguje, pokud existuje reálné číslo 0 \leq q a pro každé n platí \sqrt[n]{a_n}\leq q. Pro případ \sqrt[n]{a_n}> 1 řada diverguje.

Limitní odmocninové kritérium

Pokud pro řadu s kladnými členy \sum a_n zavedeme K = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}, pak můžeme použít limitní odmocninové kritérium, podle kterého je řada konvergentní pro K, divergentní pro K>1 \, a pro K=1 \, může konvergovat nebo divergovat.

Raabeovo kritérium

Podle Raabeova kritéria je řada s kladnými členy \sum a_n konvergentní tehdy, pokud existuje takové r \in \mathbb{R}, r > 1 a takové přirozené číslo n_0 \in \mathbb{N}, že pro všechna n \geq n_0 platí n \left(1-\frac{a_{n+1}}{a_n} \right) \geq r > 1.

Jestliže existuje n_0 \in \mathbb{N} takové, že pro všechna n \geq n_0 platí n \left( 1-\frac{a_{n+1}}{a_n} \right) \leq 1, pak řada \sum a_n diverguje.

Limitní Raabeovo kritérium

Jestliže pro řadu s kladnými členy \sum a_n zavedeme M = \lim_{n \to \infty} n \left( 1-\frac{a_{n+1}}{a_n} \right), pak na základě limitního Raabeova kritéria určíme, že řada konverguje pro M>1 \,, diverguje pro M a pro M=1 \, může konvergovat i divergovat.

Integrální kritérium

Nechť \sum a_n je řada s kladnými členy, jejíž členy lze vyjádřit jako a_n=f(n) \,. Pokud ve funkci f(n) \, nahradíme diskrétní proměnnou n \, spojitou proměnnou x \,, přičemž f(x) \, bude spojitou a klesající funkcí na intervalu \langle 1,+\infty), pak podle tzv. +more integrálního kritéria je řada \sum a_n konvergentní tehdy, pokud konverguje integrál \int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x. Pokud integrál \int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x diverguje, pak diverguje také řada \sum a_n.

Leibnizovo kritérium

Pro alternující řady, které zapíšeme jako \sum_{n=1}^\infty {(-1)}^{n}a_n, kde a_n\geq0 \,, lze použít Leibnizovo kritérium. Podle tohoto kritéria konverguje uvedená alternující řada tehdy, pokud existuje n_0 takové, že a_{n_0}>a_{n_0+1}>a_{n_0+2}>. +more \, (tj. od určitého indexu ryze monotónně klesá), a zároveň \lim_{n \to \infty} a_n=0.

Gaussovo kritérium

Nechť (a_n) \, je kladná posloupnost, pro niž existují q, \alpha \in \mathbb{R}, kladné \varepsilon a omezená posloupnost (c_n) \, taková, že pro všechny n \in \mathbb{N} platí: :\frac{a_{n+1}}{a_n} = q - \frac{\alpha}{n} + \frac{c_n}{n^{1 + \varepsilon}} * Když q nebo když q = 1 \, a \alpha > 1 \,, pak řada \sum a_n konverguje. * Když q > 1 \, nebo když q = 1 \, a \alpha \leq 1, pak řada \sum a_n diverguje.

Dirichletovo kritérium

Nechť (a_n) \, je reálná posloupnost a (b_n) \, komplexní posloupnost, pro které platí: * (a_n) \, je od jistého indexu monotonní a \lim_{n \to \infty} a_n=0; * (b_n) \, má omezenou posloupnost částečných součtů. Pak řada \sum a_n b_n konverguje.

Abelovo kritérium

Nechť (a_n) \, je reálná posloupnost a (b_n) \, komplexní posloupnost, pro které platí: * (a_n) \, je monotonní a omezená; * \sum b_n je konvergentní řada. Pak řada \sum a_n b_n konverguje.

Existuje také verze Abelova kritéria stejnoměrné konvergence pro řady funkcí.

Příklady

Uvažujme řadu

(*) \;\;\; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha}.

Z Cauchyova kondenzačního testu vyplývá, že (*) je konečně konvergentní, jestliže

: (**) \;\;\; \sum_{n=1}^\infty 2^n \left( \frac 1 {2^n}\right)^\alpha

je konečně konvergentní. Protože

: \sum_{n=1}^\infty 2^n \left( \frac 1 {2^n} \right)^\alpha = \sum_{n=1}^\infty 2^{n-n\alpha} = \sum_{n=1}^\infty 2^{(1-\alpha) n}

(**) je geometrická řada s kvocientem 2^{(1-\alpha)} . (**) je konečně konvergentní, jestliže její kvocient je menší než jedna (jmenovitě \alpha > 1). +more Tedy (*) je konečně konvergentní právě tehdy, když \alpha > 1 .

Konvergence součinů

Většina testů sice zkoumá konvergenci nekonečných řad, ale mohou být také použity pro zjištění konvergence nebo divergence nekonečných součinů. Toho lze dosáhnout použitím následující věty: Nechť \left \{ a_n \right \}_{n=1}^\infty je posloupnost kladných čísel. +more Pak nekonečný součin \prod_{n=1}^\infty (1 + a_n) konverguje právě tehdy, když konverguje řada \sum_{n=1}^\infty a_n. Dále obdobně, jestliže 0 platí, pak \prod_{n=1}^\infty (1 - a_n) se blíží nenulové limitě právě tehdy, když konverguje řada \sum_{n=1}^\infty a_n.

Tvrzení lze dokázat aplikací funkce logaritmus na součin a použitím věty o porovnání limit.

Odkazy

Reference

Související články

L'Hospitalovo pravidlo * Přesunové pravidlo

Literatura

Externí odkazy

[url=http://www.math.tamu.edu/~austin/serieschart.pdf]Flowchart pro výběr kritérium konvergence[/url]

Kategorie:Matematické posloupnosti a řady