Křivkový integrál

Animace demonstrující význam křivkového integrálu skalárního pole V matematice je křivkový integrál integrál skalárního nebo vektorového pole počítaný podél křivky. Je více druhů křivkových integrálů, mezi nejdůležitější patří integrály prvního a druhého druhu a integrály v komplexní proměnné.

Definice

Mějme orientovanou křivku k, která je definována rovnicemi x=\phi(t), y=\psi(t) pro t \in \langle\alpha,\beta\rangle. Na této křivce k nechť je definována funkce z=f(x,y).

Křivku k rozdělíme na n oblouků o_1, o_2, . , o_n v bodech A_1, A_2, . +more, A_{n-1} s parametry t_1. Na každém oblouku o_i zvolíme bod C_i o souřadnicích [\xi_i,\eta_i] a sestrojíme součty :S_x = \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)(x_i-x_{i-1}) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)[\phi(t_i)-\phi(t_{i-1})] :S_y = \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)(y_i-y_{i-1}) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)[\psi(t_i)-\psi(t_{i-1})] :S_s = \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)(s_i-s_{i-1}) kde l_i = s_i-s_{i-1} = \int_{t_{i-1}}^{t_i} \sqrt{{\phi^\prime}^2(t)+{\psi^\prime}^2(t)}\mathrm{d}t je délka oblouku o_i. Největší z délek l_k při daném dělení d nazveme normou dělení d, tzn. \nu(d) = \max_d l_k.

Pokud existuje takové číslo I_x, resp. I_y, resp. +more I_s, že k libovolnému \varepsilon>0 lze najít takové \delta>0, že \left|I_x-S_x\right|, resp. \left|I_y-S_y\right|, resp. \left|I_s-S_s\right| pro každé dělení d, pro které \nu(d) bez ohledu na volbu bodů C_k na o_k, pak říkáme, že existuje křivkový integrál funkce f(x,y) po křivce k vzhledem k x, resp. k y, resp. k s, což zapisujeme vztahy :I_x = \int_k f(x,y)\mathrm{d}x = \int_k f(\phi(t),\psi(t))\phi^\prime(t)\mathrm{d}t :I_y = \int_k f(x,y)\mathrm{d}y = \int_k f(\phi(t),\psi(t))\psi^\prime(t)\mathrm{d}t :I_s = \int_k f(x,y)\mathrm{d}s = \int_k f(\phi(t),\psi(t))\sqrt{{\phi^\prime}^2(t)+{\psi^\prime}^2(t)}\mathrm{d}t.

Demonstrace významu křivkových integrálů Integrál I_s označujeme jako křivkový integrál prvního druhu, integrály I_x, I_y jako křivkové integrály druhého druhu. +more Je-li funkce f(x,y) spojitá na křivce k, pak uvedené integrály existují. Za integrál druhého druhu se považuje také integrál:.

:\int_k \left[f(x,y)\mathrm{d}x+g(x,y)\mathrm{d}y\right] = \int_k f(x,y)\mathrm{d}x + \int_k g(x,y)\mathrm{d}y.

Je-li křivka k uzavřená, pak k označení křivkového integrálu po této křivce užíváme integrační znak \oint.

Význam křivkových integrálů je demonstrován na obrázku. Obsah plochy, která je nad křivkou k ohraničena funkcí z=f(x,y), je určen křivkovým integrálem prvního druhu, tedy integrálem I_s. +more Obsah (orientovaného) průmětu této plochy do roviny xz, resp. yz, je určen integrálem I_x, resp. I_y.

Vlastnosti křivkových integrálů

Je-li k orientovaná křivka, kterou lze rozložit na dvě souhlasně orientované křivky k_1, k_2, pak pro křivkové integrály druhého druhu platí :\int_k f(x,y)\mathrm{d}x = \int_{k_1} f(x,y)\mathrm{d}x + \int_{k_2} f(x,y)\mathrm{d}x :\int_k f(x,y)\mathrm{d}y = \int_{k_1} f(x,y)\mathrm{d}y + \int_{k_2} f(x,y)\mathrm{d}y a podobně pro křivkové integrály prvního druhu :\int_k f(x,y)\mathrm{d}s = \int_{k_1} f(x,y)\mathrm{d}s + \int_{k_2} f(x,y)\mathrm{d}s

Jsou-li na křivce k definovány funkce f_1(x,y), f_2(x,y), pak pro libovolné konstanty c_1, c_2 :\int_k \left[c_1 f_1(x,y)+c_2 f_2(x,y)\right]\mathrm{d}x = c_1 \int_k f_1(x,y)\mathrm{d}x + c_2 \int_k f_2(x,y)\mathrm{d}x :\int_k \left[c_1 f_1(x,y)+c_2 f_2(x,y)\right]\mathrm{d}y = c_1 \int_k f_1(x,y)\mathrm{d}y + c_2 \int_k f_2(x,y)\mathrm{d}y :\int_k \left[c_1 f_1(x,y)+c_2 f_2(x,y)\right]\mathrm{d}s = c_1 \int_k f_1(x,y)\mathrm{d}s + c_2 \int_k f_2(x,y)\mathrm{d}s

Označme jako k^\prime křivku, která má opačnou orientaci než křivka k. Při změně orientace křivky změní integrály druhého druhu své znaménko, tzn. +more :\int_{k^\prime} f(x,y)\mathrm{d}x = - \int_k f(x,y)\mathrm{d}x :\int_{k^\prime} f(x,y)\mathrm{d}y = - \int_k f(x,y)\mathrm{d}y.

Integrály prvního druhu při změně orientace znaménko nemění, tzn. :\int_{k^\prime} f(x,y)\mathrm{d}s = \int_k f(x,y)\mathrm{d}s

Zobecnění křivkových integrálů

Zobecnění křivkových integrálů na prostorové křivky je přímočaré. Je-li na oblasti \Omega definována spojitá funkce f(x,y,z) a křivka k zadaná parametricky vztahy x = \phi(t), y = \psi(t), z = \omega(t) pro t \in \langle\alpha,\beta\rangle, pak křivkový integrál prvého druhu zapíšeme :\int_k f(x,y,z)\mathrm{d}s = \int_\alpha^\beta f(\phi(t),\psi(t),\omega(t))\sqrt{{\phi^\prime}^2(t)+{\psi^\prime}^2(t)+{\omega^\prime}^2(t)}\mathrm{d}t Křivkové integrály druhého druhu pak mají tvar :\int_k f(x,y,z)\mathrm{d}x = \int_\alpha^\beta f(\phi(t),\psi(t),\omega(t))\phi^\prime(t)\mathrm{d}t :\int_k f(x,y,z)\mathrm{d}y = \int_\alpha^\beta f(\phi(t),\psi(t),\omega(t))\psi^\prime(t)\mathrm{d}t :\int_k f(x,y,z)\mathrm{d}z = \int_\alpha^\beta f(\phi(t),\psi(t),\omega(t))\omega^\prime(t)\mathrm{d}t

Užití křivkových integrálů

Křivkové integrály mají široké využití v diferenciální geometrii, např. výpočet délky křivky či obsahu plochy, a ve fyzice, např. +more výpočet hmotnosti, těžiště a momentů hybnosti resp. setrvačnosti tělesa, či výpočet vykonané práce podél dráhy, rovné křivkovému integrálu vektoru síly podle dráhy.

Diferenciální geometrie

V diferenciální geometrii hrají důležitou roli integrály prvního druhu (integrály ze skalárního pole podél křivky, neorientované) a integrály druhého druhu (integrály z vektorového nebo obecně tenzorového pole podél křivky, orientované).

Integrál prvního druhu

Nechť F:\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} je skalární pole podél jednoduché po částech hladké křivky C parametrizované zobrazením \mathbf{r}(t): \rightarrow \mathbb{R}^{3}, pro které je \mathbf{r'}(t) nenulové pro každé t. Potom křivkový integrál prvního druhu píšeme následovně, přičemž integrál elementu délky křivky \mathrm{d}s je roven délce křivky:

:\int_{C} F \ \mathrm{d}s=\int\limits_{a}^{b}F(\mathbf{r}(t))|\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t}|\mathrm{d}t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{r}(t)=[x(t),y(t),z(t)] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int_{C}\mathrm{d}s=l(C),

kde \mathrm{d}s=\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}=\sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}+z'(t)^{2}} \ \mathrm{d}t, neboť dx=x'(t) \ \mathrm{d}t, \ dy=y'(t) \ \mathrm{d}t, \ dz=z'(t) \ \mathrm{d}t.

Výsledná hodnota integrálu nezávisí na parametrizaci, ale pouze na křivce, podél které se integruje. Integrál skalárního pole po křivce vzniklé napojením dvou křivek v jednom bodě je součtem jednotlivých integrálů podél napojených křivek. +more Hodnota integrálu nezávisí na směru integrace (orientaci křivky).

Integrál druhého druhu

Oranžová křivka C zobrazuje trajektorii částice uvnitř vektorového pole. +more Částice se pohybuje z bodu a do bodu b podél křivky a probíhá vektorovým polem F. Níže napravo sledujeme vektor z pohledu částice. Při změně směru se šipky os otáčejí. Modrá šipka znázorňuje aktuální orientaci částice vzhledem k poli F. Dole se zelenou barvou tvoří křivka podle směru cesty částice (křivka C). Vytvořená křivka zelenou barvou je ekvivalentní křivkovému integrálu. Nechť \mathbf{F}:\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} je vektorové pole podél jednoduché po částech hladké křivky C parametrizované zobrazením \mathbf{r}(t): \rightarrow \mathbb{R}^{3}, pro které je \mathbf{r'}(t) nenulové pro každé t. Potom křivkový integrál druhého druhu píšeme následovně:.

:\int_{C}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \int\limits_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t} \mathrm{d}t,

kde \mathrm{d} \mathbf{r}=[dx,dy,dz].

Výsledná hodnota integrálu nezávisí na parametrizaci, ale pouze na orientaci křivky, podél které se integruje. Integrál vektorového pole po křivce vzniklé napojením dvou stejně orientovaných křivek v jednom bodě je součtem jednotlivých integrálů podél napojených křivek. +more Hodnota integrálu při změně směru integrace (orientace křivky) změní znaménko.

Transformace integrálu II. druhu

Integrál 2. druhu lze vždy převést na integrál 1. druhu pomocí tečného vektoru \mathbf{\tau} vektorového pole \mathbf{F}=[F_x,F_y,F_z]:

:\int_{C}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}= \int_{C}\mathbf{F}\cdot(\mathbf{\tau}\mathrm{d}s)= \int_{C}(\mathbf{F}\cdot\mathbf{\tau})\mathrm{d}s= \int_{C}F\ \mathrm{d}s.

Počítáme-li křivkový integrál 2. druhu z konzervativního pole (nevírového), které je gradientem funkce F, na křivce s počátečním bodem \mathbf{r}(a) a koncovým bodem \mathbf{r}(b), lze psát:

:\int_{C}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}= \int_{C}\mathbf{grad} \ F\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}= \int\limits_{a}^{b}dF=F(\mathbf{r}(b))-F(\mathbf{r}(a)),

kde dF je totální diferenciál funkce F, integrál pak nezávisí na cestě (křivce), ale jen na hodnotách potenciálu počátečního a koncového bodu.

Počítáme-li křivkový integrál 2. druhu z nekonzervativního pole (vírového) po uzavřené křivce (tzv. cirkulaci), můžeme použít klasickou Stokesovu větu:

:\oint_{C}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \iint_S\mathbf{rot} \ \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}.

Komplexní analýza

V komplexní analýze se operuje s křivkovými integrály z funkce komplexní proměnné přes křivky v komplexní rovině. Křivkový integrál z holomorfní funkce f(z) po křivce C(t), kde t je její parametr probíhající interval :

:\int_{C}f(z)\,\mathrm{d}z=\int\limits_{a}^{b}f(z(t))\frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t,

kde se integruje zvlášť reálná a imaginární část. Jde-li o uzavřenou křivku, potom se používá značení:

:\oint_{C}f(z)\,\mathrm{d}z.

Komplexní křivkové integrály lze zpravidla snadno počítat pomocí primitivní funkce, jako (reálné) křivkové integrály II. druhu, pomocí Greenovy věty, Cauchyovy věty, reziduové věty, nebo pomocí Cauchyova vzorce. +more Pokud integrační křivka splývá na některém svém úseku s reálnou osou, lze v určitých případech pomocí komplexních integrálů počítat integrály reálné.

Příklad

Mějme funkci f(z)=1/z a křivku C definovanou jako jednotkovou kladně orientovanou kružnici se středem v počátku, která je parametrizována jako e^{it}, kde parametr t probíhá interval :

:\oint_C f(z)\,\mathrm{d}z = \int\limits_0^{2\pi} {1\over e^{it}} ie^{it}\,\mathrm{d}t = \int\limits_0^{2\pi} i \, \mathrm{d}t= 2 \pi i,

což lze rovněž ověřit Cauchyovým vzorcem.

Související články

Křivka * Plošný integrál * Stokesova věta * Greenova věta * Gaussova věta

Externí odkazy

STRMISKA, Martin. Aplikace křivkového integrálu. Zlín: Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, 2015, 75s. Dostupné také z:

. Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně. Fakulta aplikované informatiky, Ústav automatizace a řídicí techniky.

Kategorie:Integrální počet Kategorie:Diferenciální geometrie Kategorie:Komplexní analýza