LU rozklad

LU rozklad matice je způsob, jak zapsat tuto matici jako součin dvou dalších matic, z nichž jedna (L z anglického lower) je v dolním trojúhelníkovém tvaru a má na celé hlavní diagonále číslo jedna a druhá (U z anglického upper) je v horním trojúhelníkovém tvaru a na hlavní diagonále má pouze nenulové prvky.

Definice

Mějme A regulární čtvercovou matici nad libovolným tělesem, u které není třeba při Gaussově eliminaci prohazovat řádky. Pak existují také regulární matice L a U, jsou určeny jednoznačně a platí pro ně následující tvrzení * A=LU * L je dolní trojúhelníková matice s jedničkami na celé hlavní diagonále. +more * U je horní trojúhelníková matice s nenulovými prvky na hlavní diagonále. Tomuto součinu říkáme LU rozklad matice A.

Pokud nemáme matici A takovou, u které není třeba prohazovat řádky, pak lze využít rozklad PA=LU, kde P je permutační matice (taková, která vznikla z jednotkové postupnou záměnou sloupců). Taková matice nejdříve prohází řádky matice A a zbytek rozkladu zůstane stejný.

Využití

Během výpočtu soustavy Ax=b může nastat situace, kdy se podařila najít dolní trojúhelníková matice L i horní trojúhelníková matice U tak, že A=LU.

Potom lze nahradit v této soustavě LU za A a označit Ux=y. Z toho plyne, že LUx=b \Leftrightarrow Ly=b a Ux=y.

To je užitečně, pokud máme sérii výpočtů, ve které se pravá strana b v jednotlivých případech mění, ale levá strana zůstává stejná. Toto řešení pomocí LU rozkladu je časově výhodnější než opakované počítání stejné soustavy.

Příklad

:\mathbf{A}= \begin{pmatrix} {1} & {3} & {-2}\\ {4} & {2} & {8}\\ {-3} & {1} & {0}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {1} & {0} & {0}\\ {0} & {1} & {0}\\ {0} & {0} & {1}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {1} & {3} & {-2}\\ {4} & {2} & {8}\\ {-3} & {1} & {0}\\ \end{pmatrix} =

= \begin{pmatrix} {1} & {0} & {0}\\ {4} & {1} & {0}\\ {-3} & {0} & {1}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {1} & {3} & {-2}\\ {0} & {-10} & {16}\\ {0} & {10} & {-6}\\ \end{pmatrix} =

= \begin{pmatrix} {1} & {0} & {0}\\ {4} & {1} & {0}\\ {-3} & {-1} & {1}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {1} & {3} & {-2}\\ {0} & {-10} & {16}\\ {0} & {0} & {10}\\ \end{pmatrix} =\mathbf{LU} .

Odkazy

Reference

Související články

Matice * Soustava lineárních rovnic * QR rozklad * Jordanův rozklad * Regulární matice * Lineární algebra * Permutace

Externí odkazy

Kategorie:Maticové rozklady