Lagrangeova funkce

Lagrangeova funkce nebo také lagrangián/lagranžián, popř. také kinetický potenciál systému, je funkce, která v sobě zahrnuje popis dynamiky systému. Tato funkce je pojmenována po Lagrangeovi, který ji zavedl v rámci své formulace klasické mechaniky.

Definice

Pro konzervativní systém má lagrangián tvar :L = L(q_1,q_2,. q_m,\dot{q}_1,\dot{q}_2,. +more,\dot{q}_m,t) =T(q_1,q_2,. q_m,\dot{q}_1,\dot{q}_2,. ,\dot{q}_m,t) - V(q_1,q_2,. ,q_m,t) kde q_1,q_2,. ,q_m \, jsou zobecněné souřadnice, \dot{q}_i jsou zobecněné rychlosti, T je celková kinetická energie, V je potenciální energie a m je počet stupňů volnosti.

Obecnější tvar Lagrangeovy funkce lze získat pomocí zobecněné potenciálové funkce U(q_1,q_2,. q_m,\dot{q}_1,\dot{q}_2,. +more,\dot{q}_m,t), tzn. funkce, pomocí které lze zobecněné síly zapsat ve tvaru Q_j = -\frac{\partial U}{\partial q_j} + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial U}{\partial \dot{q}_j}. Pak: :L = T(q_1,q_2,. q_m,\dot{q}_1,\dot{q}_2,. ,\dot{q}_m,t) - U(q_1,q_2,. q_m,\dot{q}_1,\dot{q}_2,. ,\dot{q}_m,t).

Takový lagrangián umožňuje popisovat např. viskózní látky nebo zahrnout působení Lorentzovy síly.

Vlastnosti

Z Hamiltonova principu lze odvodit, že pokud je systém popsán Lagrangeovou funkcí L pak může být systém popsán také Lagrangeovou funkcí :L_\mathrm{var} = L + \dot{F}(q_1,q_2,....q_m,t), kde F je libovolná funkce polohy a času.

Hustota lagrangiánu

Zejména v kvantové teorii pole se používá hustota lagrangiánu, vyjadřující jeho prostorové rozložení. Vzájemná souvislost je dána vztahem :L = \int \mathcal L(q_j(\mathbf{x}),\dot{q}_j(\mathbf{x}),t) \,\mathrm d^3 \mathbf{x}

Jednoduché příklady

Lagrangián částice s rychlostí v \, v konzervativním poli s potenciální energií E_\mathrm p \, :L = \tfrac{1}{2} m v^2 - E_\mathrm p * Lagrangián částice s nábojem q \, v elektromagnetickém poli s elektrickým potenciálem \varphi \, a magnetickým vektorovým potenciálem \mathbf{A} \, :L = \tfrac{1}{2} m v^2 - q (\varphi - \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}) * Lagrangián relativistické částice (pro nenabitou částici odpadá člen s q \,): :L = - m_0 c^2 \sqrt {1 - \frac{v^2}{c^2}} - q (\varphi - \mathbf{v} \cdot \mathbf{A})

Poznámky

Literatura

Související články

Lagrangeovská formulace mechaniky * Eulerova-Lagrangeova rovnice * Akce (fyzika)

Kategorie:Teoretická mechanika