Cesko.wiki Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích
Author
Albert FloresLagrangeova věta o čtyřech čtvercích je matematické tvrzení pojmenované po italském matematikovi Josephu-Louisu Lagrangeovi. Tato věta se zabývá rozložením celých čísel na součet čtyř čtverců. Přesněji řečeno, věta tvrdí, že každé celé číslo lze vyjádřit jako součet čtverců čtyř přirozených čísel. Například číslo 5 lze zapsat jako 2^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 nebo jako 2^2 + 1^2 + (-1)^2 + 1^2. Tato věta má širokou škálu aplikací v různých matematických disciplínách, včetně teorie čísel, algebry a geometrie.
Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích je tvrzení z oboru teorie čísel, které říká, že každé přirozené číslo lze zapsat jako součet čtyř čtverců. Tedy pro každé přirozené n existují taková celá čísla a, b, c a d, že: :n=a^2+b^2+c^2+d^2 Větu dokázal Joseph Louis Lagrange v roce 1770.
Dějiny
Poprvé se věta objevuje v Diofantově Aritmetice, která byla později v roce 1621 přeložena do latiny Bachetem. V roce 1798 Adrien-Marie Legendre větu vylepšil tvrzením, že přirozená čísla mohou být vyjádřena jako součet tří čtverců tehdy a jen tehdy, mohou-li být vyjádřena jako 4^k(8m+7). +more Jeho důkaz byl ovšem neúplný a teprve později byl opraven Gaussem.
Existují dva obecnější významné problémy, jichž je Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích speciálním případem. Jednak se jedná o Fermatovu větu o n-úhelníkových číslech, která se týká vyjadřování přirozených čísel pomocí n-úhelníkových, jednak se jedná o Waringův problém, který se týká vyjadřováním přirozených čísel pomocí mocnin stejného exponentu.
Algoritmus
Michael O. +more Rabin a Jeffrey Shallit nalezli pravděpodobnostní polynomiální algoritmus, který k danému číslu najde jeho vyjádření čtyřmi čtverci s očekávanou složitostí O(\log n).