Laplaceův–Rungeův–Lenzův vektor

Laplaceův-Rungeův-Lenzův vektor, někdy též LRL vektor, je vektor popisující tvar a směr orbity jednoho tělesa kolem jiného. Je konstantním vektorem v případě pohybu v Newtonově potenciálu. Máme-li systém popsaný hamiltoniánem

H=\frac{p^2}{2m} - \frac{k}{r},

pak je LRL vektor definován jako:

\mathbf{A}=\mathbf{p}\times \mathbf{L} - mk\frac{\mathbf{r}}{r}

LRL vektor společně s energií a momentem hybnosti představuje integrál pohybu pro pohyb v Newtonově potenciálu.

Velikosti všech těchto integrálů pohybu jednoznačně určují trajektorii. Protože je \mathbf{A} vždy kolmý na \mathbf{L}, jsou velikosti těchto integrálů určeny 6 nezávislými čísly. +more Trajektorii stejně tak určuje poloha a hybnost v určitém čase, což je taktéž 6 nezávislých hodnot.

Důkaz toho, že LRL vektor je integrálem pohybu

Vypočtěme

\frac{d\mathbf{A}}{dt}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}\times L - mk \frac{d}{dt} \frac{\mathbf{r}}{r}

Ovšem \frac{d\mathbf{p}}{dt} odpovídá síle, tedy

\frac{d\mathbf{A}}{dt}=-k \frac{\mathbf{r}}{r^3}\times \mathbf{L} - mk \frac{\mathbf{v}}{r}+mk \frac{\mathbf{r} v_r}{r^2}

\frac{d\mathbf{A}}{dt}=-k \frac{\mathbf{r}}{r^3}\times (\mathbf{r}\times \mathbf{p}) - k \frac{\mathbf{p}}{r}+mk \frac{\mathbf{r}(\mathbf{v} \cdot \mathbf{r})}{r^3}

\frac{d\mathbf{A}}{dt}=-k \frac{1}{r^3}(\mathbf{r}(\mathbf{r}\cdot \mathbf{p} )- \mathbf{p} r^2) - k \frac{\mathbf{p}}{r}+k \frac{\mathbf{r}(\mathbf{p} \cdot \mathbf{r})}{r^3}

\frac{d\mathbf{A}}{dt}=0

Vektor se nemění s časem, proto je integrálem pohybu.

Rozptyl na Newtonově potenciálu

Uvažujme částici, která přilétá z nekonečna tak, že by bez přítomnosti pole minula rozptylové centrum ve vzdálenosti a (impaktní parametr). Jeli pole přítomno, je částice odchýlena. +more Víme přitom, že velikost a směr LRL vektoru zůstává konstantní, tedy.

\mathbf{p_1}\times \mathbf{L} - mk\frac{\mathbf{r_1}}{r_1}=\mathbf{p_2}\times \mathbf{L} - mk\frac{\mathbf{r_2}}{r_2}

Kde levá strana je velikost vektoru daleko před tím, než došlo k interakci, zatímco pravá naopak daleko po ní. Označíme-li

\mathbf{e}_1=\frac{\mathbf{r}_1}{r_1}\quad \mathbf{e}_2=\frac{\mathbf{r}_2}{r_2},

pak vzhledem k tomu že daleko od místa interakce letí částice v podstatě ve směru jejího polohového vektoru, lze psát:

- p \mathbf{e}_1 \times \mathbf{L} - m k \mathbf{e}_1 = p \mathbf{e}_2 \times \mathbf{L} - m k \mathbf{e}_2

Kde p je velikost hybnosti v nekonečnu. Nebo po úpravě

p (\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2)\times \mathbf{L} = mk (\mathbf{e}_2 -\mathbf{e}_1)

Tuto vektorovou rovnici umocníme (vektory \mathbf{e}_1 a \mathbf{e}_2 jsou kolmé na \mathbf{L}):

p^2 L^2 (2+2\cos \alpha) = m^2 k^2 (2-2\cos \alpha)

Kde \alpha je úhel mezi vektorama e_1 a e_2, Nás ovšem spíše zajímá vychýlení částice, tedy úhel \phi = \pi-\alpha. Dostáváme pak:

p^2 L^2 (2-2\cos \phi) = m^2 k^2 (2+2\cos \phi)

Po úpravě:

\tan \frac{\phi}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos\phi}{1+\cos\phi}} = \frac{mk}{pL}

Což po dosazení za velikost momentu hybnosti L=pa dává vztah

\tan \frac{\phi}{2} = \frac{mk}{ap^2}=\frac{k}{2aE}

Známe tedy závislost odchýlení částice na impaktním parametru a. Nyní již snadno vypočítáme diferenciální účinný průřez:

\frac{d\sigma}{d\Omega}= \frac{2\pi a da}{2\pi \sin \phi d\phi}= \frac{a}{\sin a} |\frac{da}{d\phi}|

Přitom dle odvozeného vztahu pro odchýlení částice platí

\frac{da}{d\phi} = \frac{-k}{4E} \frac{1}{\sin^2 \frac{\phi}{2}}

Po dosazení získáváme Rutherfordovu formuli pro rozptyl.

\frac{d\sigma}{d\Omega}= \frac{k^2}{16E^2} \frac{1}{\sin^4 \frac{\phi}{2}}

Odvození trajektorie pohybu v Newtonově potenciálu

Uvažujme, že při tomto pohybu je v určitém místě hybnost kolmá na průvodič. V tomto bodě má pak průvodič částice stejný směr jako LRL vektor. +more Protože je LRL vektor konstantní v čase, je zřejmé, že má vždy tento směr.

Dále promítněme LRL vektor do směru průvodiče, tedy:

A_r= \mathbf{A} \cdot \frac{\mathbf{r}}{r} = \frac{\mathbf{r}}{r} \cdot (\mathbf{p}\times \mathbf{L}) - mk \frac{\mathbf{r}}{r}\cdot\frac{\mathbf{r}}{r}=\frac{1}{r} \mathbf{L}\cdot (\mathbf{r}\times \mathbf{p})-mk= \frac{L^2}{r}-mk

Označme dále úhlovou odchylku průvodiče od směru LRL vektoru jako \phi, potom platí také:

A_r = A \cos \phi

Porovnáním těchto dvou výrazů dostaneme

r=\frac{L^2}{mk+A\cos \phi}=\frac{\frac{L^2}{mk}}{1+\frac{A}{mk}\cos \phi}.

Což je samozřejmě rovnice kuželosečky v polárních souřadnicích. Velikost LRL vektoru je tedy úměrná numerické excentricitě, speciálně, pokud je \mathbf{A}=0, pak je pohyb kruhový.

Externí odkazy

Kategorie:Vektory Kategorie:Mechanika